Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，沿AD邊，以1厘米/秒的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始，沿CB邊，以3厘米/秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．已知P、Q兩點(diǎn)分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問：
（1）t為何值時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形？
（2）在某個(gè)時(shí)刻，四邊形PQCD可能是菱形嗎？為什么？
（3）t為何值時(shí)，四邊形PQCD是直角梯形？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)四邊形PQCD是平行四邊形時(shí)，必須有PD=CQ，而PD與CQ均可用含有t的式子表示出來，所以列方程解答即可．
（2）由若四邊形PQCD是菱形，則四邊形PQCD是平行四邊形，根據(jù)（1）中的求解答案，分析看此時(shí)能否為菱形，因?yàn)镃D≠PD，即可得四邊形PQCD不可能是菱形；
（3）因?yàn)楫?dāng)PA=BQ時(shí)，四邊形PQCD是直角梯形，然后根據(jù)題意列方程即可求得答案．

解答：解：∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
∴AP=t（cm），PD=AD-AP=24-t（cm），CQ=3t（cm），BQ=BC-CQ=26-3t（cm），
（1）∵AD∥BC，
∴當(dāng)QC=PD時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形．
此時(shí)有3t=24-t，解得t=6．
∴當(dāng)t=6s時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形．

（2）若四邊形PQCD是菱形，則四邊形PQCD是平行四邊形，
根據(jù)（1）得：t=6s，
∴PD=24-t=24-6=18（cm），
過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，
∴四邊形ABED是矩形，
∴BE=AD=24cm，
∴EC=BC-BE=26-24=2（cm），DE=AB=8cm，
∴DC=

DE2+EC2

=2

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≠PD，
∴四邊形PQCD不可能是菱形；

（3）∵AD∥BC，
∴當(dāng)PA=BQ時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形，
∵∠B=90°，
∴四邊形ABQP是矩形，
∴∠PQC=90°，
∴當(dāng)PA=BQ時(shí)，四邊形PQCD是直角梯形，
即t=26-3t，
解得：t=6.5，
∴t=6.5s時(shí)，四邊形PQCD是直角梯形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形，菱形以及直角梯形的判定．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．