Question

已知：二次函數(shù)y=ax²-2x+c的圖象與x軸交于A（-1，0）和B兩點(diǎn)（如圖），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸是直線x=1，E為拋物線頂點(diǎn)．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）直線y=-

1

3

x+1交y軸于D點(diǎn)．
①猜想△BCE的形狀，并判斷它和△BOD是否相似，請說明理由；
②若點(diǎn)M是直線BD下方的拋物線上一個動點(diǎn)，點(diǎn)M運(yùn)動到什么位置時，△BDM的面積等于△BOE的面積？直接寫出所有滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)和對稱軸求的函數(shù)圖象于x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)，理由待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）將求的函數(shù)解析式通過配方確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)，過E作EF⊥y軸于F，然后求的拋物線y=x²-2x-3于y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到△BCE和△BOD均是等腰直角三角形，從而證明△BCE∽△BOD；

解答：解：（1）∵A（-1，0）且對稱軸是直線x=1，
∴B（3，0），
把A（-1，0），B（3，0）分別代入y=ax²-2x+c得，

0=a+2+c 0=9a-6+c

，
解得：

a=1 c=-3

，
∴這個二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）①△BCE∽△BOD，理由如下：
由y=x²-2x-3=（x-1）²-4得E（1，-4）
過E作EF⊥y軸于F，則EF=1．
∵拋物線y=x²-2x-3于y軸交于點(diǎn)C（0，-3），
∴OC=OB=3，CF=4-3=1=EF
∴△CFE和△OBC均是等腰直角三角形，
∴△BCE∽△BOD；
②M（0，-3）；

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，題目中還考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，題目難度較大．