Question

已知關于x的一元二次方程kx²+2（k+4）x+（k-4）=0
（1）若方程有實數(shù)根，求k的取值范圍
（2）若等腰三角形ABC的邊長a=3，另兩邊b和c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）計算方程的根的判別式，若△=b²-4ac≥0，則方程有實數(shù)根；
（2）已知a=3，則a可能是底，也可能是腰，分兩種情況求得b，c的值后，再求出△ABC的周長．注意兩種情況都要用三角形三邊關系定理進行檢驗．

解答：解：（1）∵關于x的一元二次方程kx²+2（k+4）x+（k-4）=0方程有實數(shù)根，
∴b²-4ac=[2（k+4）]²-4k（k-4）≥0，
解得：k≥-

4

3

且k≠0；

（2）①若a=3為底邊，則b，c為腰長，則b=c，則△=0．
∴b²-4ac=[2（k+4）]²-4k（k-4）=0，
解得：k=-

4

3

．
此時原方程化為x²-4x+4=0
∴x₁=x₂=2，即b=c=2．
此時△ABC三邊為3，2，2能構成三角形，
∴△ABC的周長為：3+2+2=8；
②若a=b為腰，則b，c中一邊為腰，不妨設b=a=3
代入方程：kx²+2（k+4）x+（k-4）=0得：k×3²+2（k+4）×3+（k-4）=0
∴解得：k=-

5

4

，
∵x₁×x₂=bc=

k-4

k

=

- 5 4 -4

- 5 4

=

21

5

=3c，
∴c=

7

5

，
∴△ABC的周長為：3+3+

7

5

=

37

5

．

點評：此題主要考查了根的判別式及三角形三邊關系定理，注意求出三角形的三邊后，要用三邊關系定理檢驗．