Question

解答題

已知拋物線y＝(m＋1)x²－2mx＋m(m為整數(shù))經過點A(1，1)，頂點為P，且與x軸有兩個不同的交點．

(1)判斷點P是否在線段OA上(O為坐標原點)．并說明理由．

(2)設該拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標分別為x₁、x₂，且x₁＜x₂，是否存在實數(shù)m，使x₁＜m＜x₂？若存在，請求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

∵y＝(m＋1)x2－2mx＋m＝(m＋1)(x－)2＋，∴拋物線的頂點p的坐標為(，)，直線OA對應的一次函數(shù)解析式為y＝x．∵拋物線y＝(m＋1)x2－2mx＋m與x軸有兩個不同的交點，∴Δ＝(－2m)2－4m(m＋1)＝4m2－4m2－4m＝－4m＞0，又∵m＋1≠0，∴m＜0，且m≠1． 　　(1)點P不在線段OA上(O為坐標原點)，理由如下：由m＜0且m≠－1，可分兩種情況討論，①當－1＜m＜0時，m＋1＞0，＜0，點P在第三象限，此時，點P不在線段OA上，②當m＜－1時，m＋1＜0，＞0，點P在第一象限，∵－1＝＞0，∴＞1，∴點P不在線段OA上，綜上所述，點P不在線段OA上． 　　(2)存在實際m滿足x1＜m＜x2，下面求m的取值范圍令y＝0，得(m＋1)x2－2mx＋m＝0(OA)則x1、x2為方程(*)的兩相異實根，且x1＋x2＝，x1，x2＝，(x1－m)(x2－m)＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝，由x1＜m＜x2得x1－m＜0，x2－m＞0，∴(x1－m)(x2－m)＜0，即＜0．∵m＜0，且m≠－1，且m2－m＋1＝(m－)2＋＞0，∴m(m2－m＋1)＜0．根據(jù)實數(shù)運算的符號法則，可知m＋1＞0，即m＞－1，∴m的取值范圍為－1＜m＜0．