Question

（2013•海門市一模）如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．半徑為1的圓的圓心P以1個(gè)單位/S的速度由點(diǎn)A沿AC方向在AC上移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（單位：s）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，⊙P與AB相切；
（2）作PD⊥AC交AB于點(diǎn)D，如果⊙P和線段BC交于點(diǎn)E．求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PDBE為平行四邊形．

Answer 1

分析：（1）首先過P作PH⊥AB于H，由⊙P與AB相切，可得PH=1，易證得△APH∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得

PH

BC

=

AP

AB

，繼而求得AP的長；即可得當(dāng)t為何值時(shí)，⊙P與AB相切；
（2）由PD⊥AC，∠C=90°，可證得PD∥BC，繼而可得當(dāng)PE∥AB時(shí)，四邊形PDBE為平行四邊形，則可得△CPE∽△CAB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得CP的長，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵過P作PH⊥AB于H，
又∵⊙P與AB相切，
∴PH=1，
∴∠AHP=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△APH∽△ABC，…（2分）
∴

PH

BC

=

AP

AB

，
∵△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∴

1

3

=

AP

5

，
∴AP=

5

3

，
∴當(dāng)t=

5

3

時(shí)，⊙P與AB相切；…（5分）

（2）∵PD⊥AC，∠C=90°，
∴PD∥BE，
∴當(dāng)PE∥AB時(shí)，四邊形PDBE為平行四邊形．
∴△CPE∽△CAB，
∴

PE

AB

=

CP

CA

，
∴

1

5

=

CP

4

，
∴CP=

4

5

，
∴AP=AC-CP=

16

5

，
∴當(dāng)t=

16

5

時(shí)，四邊形PDBE為平行四邊形．…（9分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．