Question

（2013•海門市一模）已知拋物線y=a（x-1）（x+

2

a

）與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，若△ABC為等腰三角形，則a的值是

2或

4

3

或

1± 5

2

．

Answer 1

分析：整理拋物線解析式，確定出拋物線與x軸的一個交點A和y軸的交點C，然后求出AC的長度，再分①a＞0時，點B在x軸負半軸時，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三種情況求解；②a＜0時，點B在x軸的正半軸時，點B只能在點A的右邊，只有AC=AB一種情況列式計算即可．

解答：解：y=a（x-1）（x+

2

a

）=（x-1）（ax+2），
所以，拋物線經(jīng)過點A（1，0），C（0，-2），AC=

OA2+OC2

=

12+22

=

5

，
點B坐標為（-

2

a

，0），
①a＞0時，點B在x負半軸上，
若AC=BC，則

(- 2 a )2+22

=

5

，解得a=2，
若AC=AB，則1+

2

a

=

5

，解得a=

5 +1

2

，
若AB=BC，則1+

2

a

=

(- 2 a )2+22

，解得a=

4

3

；
②a＜0時，點B在x軸的正半軸，點B只能在點A的右側(cè)，
只有AC=AB，則-

2

a

-1=

5

，
解得：a=

1- 5

2

，
綜上可得a值為：2或

4

3

或

1± 5

2

．
故答案為：2或

4

3

或

1± 5

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了拋物線與x軸的交點問題，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的解析式確定出拋物線經(jīng)過的兩個定點是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論，難度較大．