Question

已知關(guān)于x的一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0．
（1）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．
（2）設(shè)x₁，x₂是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，是否存在實(shí)數(shù)a，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立，若存在，求出a的值；若不存在，請你說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a-6≠0且△=4a²-4（a-6）•a≥0，然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-

2a

a-6

，x₁x₂=

a

a-6

，再根據(jù)已知條件得

a

a-6

=4-

2a

a-6

，然后解方程即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得a-6≠0且△=4a²-4（a-6）•a≥0，
解得a≥0且a≠6；

（2）存在．
根據(jù)題意得x₁+x₂=-

2a

a-6

，x₁x₂=

a

a-6

，
∵-x₁+x₁x₂=4+x₂，即x₁x₂=4+x₁+x₂，
∴

a

a-6

=4-

2a

a-6

，
解得a=24，
∵a≥0且a≠6，
∴a=24時(shí)，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義和根與系數(shù)的關(guān)系．