Question

在△ABC中，BO平分∠ABC，點P為直線AC上一動點，PO⊥BO于點O．

（1）如圖1，當∠ABC=40°，∠BAC=60°，點P與點C重合時，∠APO=

10°

；
（2）如圖2，當點P在AC延長線時，求證：∠APO=

1

2

（∠ACB-∠BAC）；
（3）如圖3，當點P在邊AC所示位置時，請直接寫出∠APO與∠ACB，∠BAC等量關系式

∠APO=180°+

1

2

（∠ACB-∠BAC）

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠OBC，然后求出∠OCB，再根據(jù)∠APO=∠ACB-∠OCB計算即可得解；
（2）作射線AO，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P，從而得到∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義用∠ACB和∠BAC表示出∠2，代入整理即可得解；
（3）用∠ACB和∠BAC表示出∠OBC，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式整理即可得解．

解答：解：（1）∵∠ABC=40°，∠BAC=60°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-40°-60°=80°，
∵BO平分∠ABC，
∴∠OBC=

1

2

×40°=20°，
∵PO⊥BO，
∴∠OCB=90°-∠OBC=90°-20°=70°，
∴∠APO=∠ACB-∠OCB=80°-70°=10°；

（2）如圖，作射線AO，
則∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P，
所以，∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P，
∵PO⊥BO，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2+∠5+∠P=90°，
即∠BAC+∠2+∠P=90°，
∵BO平分∠ABC，
∴∠2=

1

2

∠ABC，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB，
∴∠2=

1

2

（180°-∠BAC-∠ACB），
∴∠APO=90°-∠BAC-∠2=90°-∠BAC-

1

2

（180°-∠BAC-∠ACB）=

1

2

（∠ACB-∠BAC）；

（3）
∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=

1

2

（180°-∠BAC-∠ACB）．
∵PO⊥BO，∴∠APO=90°+（∠ABO+∠BAC）
=90°+

1

2

（180°-∠BAC-∠ACB）+∠BAC
=180°+

1

2

（∠BAC-∠ACB），
即∠APO=180°+

1

2

（∠BAC-∠ACB）．
故答案為：（1）10°；（3）∠APO=180°+

1

2

（∠BAC-∠ACB）．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，難度中等，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關鍵．