Question

如圖，拋物線y=ax²-5ax+4經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知BC∥x軸，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸上，且AC=BC．
（1）求拋物線的對(duì)稱軸；
（2）求A點(diǎn)坐標(biāo)并求拋物線的解析式；
（3）若點(diǎn)P在x軸下方且在拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）y=ax²-5ax+4，
對(duì)稱軸：x=-

-5a

2a

=

5

2

；

（2）經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知BC∥x軸，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y上，且AC=BC，
令x=0，y=4，可知C點(diǎn)坐標(biāo)（0，4），
BC∥x軸，所以B點(diǎn)縱坐標(biāo)也為4，
又∵BC兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x=

5

2

對(duì)稱，
即：

xB+0

2

=

5

2

，
x_B=5，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)（5，4）．
A點(diǎn)在x軸上，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)（m，0），
AC=BC，即AC²=BC²，
AC²=4²+m²，
BC=5，
∴4²+m²=5²，
∴m=±3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)（-3，0），
將A點(diǎn)坐標(biāo)之一（-3，0）代入y=ax²-5ax+4，
0=9a+15a+4，
a=-

1

6

，
y=-

1

6

x²+

5

6

x+4；
將A點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0），則與A在x軸的負(fù)半軸矛盾，故舍去．
故函數(shù)關(guān)系式為：y=-

1

6

x²+

5

6

x+4．

（3）存在符合條件的點(diǎn)P共有3個(gè)．以下分三類情形探索．
設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于N，與CB交于M．
過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥x軸于Q，
易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=

5

2

．
①以AB為腰且頂角為角A的△PAB有1個(gè)：△P₁AB．
∴AB²=AQ²+BQ²=8²+4²=80（8分）
在Rt△ANP₁中，P₁N=

AP12-AN2

=

AB2-AN2

=

80-(5.5)2

=

199

2

，
∴P₁（

5

2

，-

199

2

）．（9分）
②以AB為腰且頂角為角B的△PAB有1個(gè)：△P₂AB．
在Rt△BMP₂中MP₂=

B P 22 -BM2

=

AB2-BM2

=

80- 25 4

=

295

2

，（10分）
∴P₂=（

5

2

，

8- 295

2

）．（11分）
③以AB為底，頂角為角P的△PAB有1個(gè)，即△P₃AB．
畫(huà)AB的垂直平分線交拋物線對(duì)稱軸于P₃，此時(shí)平分線必過(guò)等腰△ABC的頂點(diǎn)C．
過(guò)點(diǎn)P₃作P₃K垂直y軸，垂足為K，顯然Rt△P₃CK∽Rt△BAQ．
∴

P3K

CK

=

BQ

AQ

=

1

2

．
∵P₃K=2.5
∴CK=5于是OK=1，（13分）
∴P₃（2.5，-1）．
④以B為頂點(diǎn)時(shí)，交于x軸上方，求得P（

5

2

，

8+ 295

2

）（舍去）．