Question

已知：如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，點B的坐標是（0，8

3

），點P從點C開始以每秒1個單位長度的速度在線段CB上向點B移動，同時，點Q從點O開始以每秒a（1≤a≤3）個單位長度的速度沿射線OA方向移動設t（0＜t≤8）秒后，直線PQ交OB于點D．
（1）求∠AOB的度數(shù)及線段OA的長；
（2）求經過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（3）當a=3，OD=

4

3

3

時，求t的值及此時直線PQ的解析式；
（4）當a為何值時，以O，Q，D為頂點的三角形與△OAB相似？當a為何值時，以O，Q，D為頂點的三角形與△OAB不相似？請給出你的結論，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）已知了∠AOC的度數(shù)，根據菱形的性質即可得出∠AOB=30°，連接AC交BO于M，在直角三角形OAM中，OM=

1

2

OB，可根據OM的長和∠AOM的度數(shù)即可求出OA的長．
（2）同（1）在直角三角形OAM中可求出AM和OM的長，即可得出A點的坐標．根據菱形的對稱性，可知A、C關于y軸對稱，由此可得出C點的坐標，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）當a=3時，OQ=3t，BP=t，已知了OD的長，可求出BD的長，然后根據相似三角形BPD和OQD得出的關于BM，OM，BP，OQ的比例關系式，可求出t的值．即可按（2）的方法求出Q的坐標，用待定系數(shù)法可得出直線DQ的解析式．
（4）本題要分情況討論：
①當△ODQ∽△OBA時，PQ∥AB，四邊形AQPB是平行四邊形，因此BP=AQ，可據此求出a的值．
②當△ODQ∽△OAB時，∠ODQ=∠OAB．分兩種情況：
一：當P、B不重合時；二：當P、B重合時．
方法一樣，和（3）類似，先根據相似三角形BPD和OQD求出OD的值，然后根據相似三角形OQD和OBA求出a的值．然后進行判斷即可．

解答：解：（1）因為四邊形ABCO是菱形，∠AOC=60°，
所以∠AOB=30°．
連接AC交OB于M，則OM=

1

2

OB，AM⊥OB
所以AM=tan30°×OM=4．
所以，OA=AM÷sin30°=8，

（2）由（1）可知A（4，4

3

），B（0，8

3

），C（-4，4

3

）
設經過A、B、C三點的拋物線為y=ax²+c
所以16a+c=4

3

，c=8

3

，
∴a=-

3

4

所以經過A、B、C三點的拋物線為y=-

3

4

x²+8

3

（3）當a=3時，CP=t，OQ=3t，OD=

4 3

3

．
所以PB=8-t，BD=8

3

-

4 3

3

=

20 3

3

由△OQD∽△BPD得

BP

OQ

=

BD

OD

即

8-t

3t

=

20 3 3

4 3 3

，
所以t=

1

2

當t=

1

2

時，OQ=

3

2

．
同理可求Q（

3

4

，

3 3

4

）
設直線PQ的解析式為y=kx+b，則

3

4

k+b=

3 3

4

，b=

4 3

3

；
所以k=-

7 3

9

所以直線PQ的解析式為y=-

7 3

9

x+

4 3

3

．

（4）當a=1時，△ODQ∽△OBA；
當1＜a＜3時，以O、Q、D為頂點的三角形與△OAB不能相似；
當a=1時，△ODQ∽△OBA．
理由如下：
①若△ODQ∽△OBA，可得∠ODQ=∠OBA，此時PQ∥AB．
故四邊形PCOQ為平行四邊形，
所以CP=OQ
即at=t（0＜t≤8）．
所以a=1時，△ODQ∽△OBA
②若△ODQ∽△OAB
（I）如果P點不與B點重合，此時必有△PBD∽△QOD
所以

PB

OQ

=

BD

OD

所以

PB+OQ

OQ

=

OB

OD

，即

8-t+at

at

=

8 3

OD

；
所以OD=

8 3 at

8-t+at

．
因為△ODQ∽△OAB，
所以

OD

OA

=

OQ

OB

即

8 3 at

8-t+at 8

=

at

8 3

∴a=1+

16

t

．
∵0＜t≤8，
∴a＞3，不符合題意．即a＞3時，以O、Q、D為頂點的三角形與△ABO不能相似；

（II）當P與B重合時，此時D點也與B點重合．
可知此時t=8．
由△ODQ∽△OAB得

OD

OA

=

OQ

OB

．
所以OB²=OA×OQ．
即（8

3

）²=8×8a
所以a=3符合題意．
故當a=3時△ODQ∽△OAB．

點評：本題是點的運動性問題，考查了菱形的性質、相似三角形的判定和性質等知識點，綜合性強，難度較高．