Question

已知，如圖，正方形ABCD，菱形EFGP，點E、F、G分別在AB、AD、CD上，延長DC，PH⊥DC于H．
（1）求證：GH=AE；
（2）若菱形EFGP的周長為20cm，cos∠AFE=

4

5

，F(xiàn)D=2，求△PGC的面積．

Answer 1

（1）證明：由菱形性質知：∠EFG+∠FGP=180°，EF=GP=EP=FG，
又∠AEF+∠AFE=90°，∠DFG+∠DGF=90°，∠AFE+∠EFG+∠DFG=180°，∠DGF+∠FGP+∠PGH=180°，
∴∠AFE=∠GPH，
又∵∠A=∠H，
∴△AEF≌△HGP，（AAS）
∴GH=AE；

（2）∵菱形EFGP的周長為20cm，
∴EF=GP=EP=FG=5cm，
又∵cos∠AFE=

4

5

，
∴在△AEF中，AF=4，EF=5，
又∵FD=2，
∴正方形邊長=AD=DC=6，
在△DFG中，DG=

FG2-DF2

=

21

，
∴GC=6-

21

，
又由（1）知PH=AF，
∴△PGC的面積=

1

2

×GC×PH=

1

2

×GC×AF=12-2

21

（cm²）．