Question

【題目】如圖，為等邊的高，，點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接，將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段，連接、．

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在直線上時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系為_________，_________；

（2）拓展探究：如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）問(wèn)題解決：當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）相等；90°；（2）成立，證明見(jiàn)解析；（3）4或

【解析】

（1）連接AD，通過(guò)SAS證明，然后對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等、等量減等量，即可得出結(jié)論；

（2）連接AD，通過(guò)SAS證明，然后對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等、等量加等量，即可得出結(jié)論；

（3）通過(guò)前兩問(wèn)，我們知道是等邊三角形，點(diǎn)D的軌跡是AP旋轉(zhuǎn)60°得來(lái)的，A為定點(diǎn)，P再BC上運(yùn)動(dòng)是主動(dòng)點(diǎn)，D為從動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)瓜豆原理可以得出D的軌跡是一條直線；BM長(zhǎng)為定值、也為定值，利用定弦定角模型可知點(diǎn)D還應(yīng)在圓弧上，因?yàn)辄c(diǎn)P可能在B點(diǎn)上方，還可能在C點(diǎn)下方，所以軌跡應(yīng)為兩段圓弧；通過(guò)以上分析可以作出圖形，找到兩種軌跡的交點(diǎn)，確定D點(diǎn)，求出AD即求出AP．

解：（1）相等；90°；

∵是等邊三角形，

∴，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，

∴是等邊三角形，

∴，

∴

即

在與中，

∵，

∴，

∴，

∴

（2）成立，證明如下：

如圖②，連接，

∵是等邊三角形，

∴，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，

∴是等邊三角形，

∴，

∴，

，

∴，

在與中，

∵，

∴，

∴，．

∵，

∴

（3）點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)，由瓜豆原理可知，D點(diǎn)也應(yīng)在直線上運(yùn)動(dòng)，在BC上選取兩個(gè)特殊的P點(diǎn)位置，按照題意作出對(duì)應(yīng)D點(diǎn)，然后連接點(diǎn)D所在直線確定；因?yàn)?/span>所以BM所對(duì)圓心角為60°，按照?qǐng)A心在BM左側(cè)和右側(cè)兩種情況，作出點(diǎn)D所在兩端圓弧，直線與兩端圓弧交點(diǎn)，即滿足題意的點(diǎn)D，具體圖形如下：

AP1=AD1=4；

AP2=AD2=

綜上所述，AP長(zhǎng)為4或．