Question

【題目】如圖，△AOB是等腰直角三角形，直線BD∥OA，OB=OA=1，P是線段AB上一動點，過P點作MN∥OB，分別交OA、BD于M、N，PC⊥PO，交BD于點C．

（1）求證：OP=PC；

（2）當點C在射線BN上時，設(shè)AP長為m，四邊形POBC的面積為S，請求出S與m間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（3）當點P在線段AB上移動時，點C也隨之在直線BN上移動，△PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成為等腰三角形時的PM的值；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）s=m2﹣m+1（0≤m≤）.(3) 0或．

【解析】試題分析：（1）首先利用矩形的判定得出四邊形OBNM為矩形，即可得出∠CPN=∠POM，進而得出△OPM≌△PCN，求出即可；

（2）利用S=S△OPB+S△PBC進而得出S與m的函數(shù)關(guān)系；

（3）利用①當點P與點A重合時，PC=BC=1，②如圖②，當點C在OB下方，且PB=CB時，分別求出即可．

試題解析：（1）證明：如圖①，△AOB是等腰直角三角形，AO=BO=1，

∴∠A=45°，∠AOB=90°，

直線BN∥OA，MN∥OB，

∴四邊形OBNM為矩形，

∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°

而∠AMP=90°，∠A=∠APM=∠BPN=45°，

∴OM=BN=PN，

∵∠OPC=90°，

∴∠OPM+∠CPN=90°，

又∵∠OPM+∠POM=90°，

∴∠CPN=∠POM，

在△OPM和△PCN中

∴△OPM≌△PCN（ASA），

∴OP=PC，

（2）解：∵AM=PM=APsin45°=m，

∴NC=PM=m，∴BN=OM=PN=1﹣m；

∴BC=BN﹣NC=1﹣m﹣m=1﹣m，

S=S△OPB+S△PBC=BOMO+BCPN，

=m2﹣m+1（0≤m≤）；

（3）解：△PBC可能為等腰三角形，

①當點P與點A重合時，PC=BC=1，此時PM=0，

②如圖②，當點C在OB下方，且PB=CB時，

有OM=BN=PN=1﹣m，

∴BC=PB=PN=﹣m，

∴NC=BN+BC=1﹣m+﹣m，

由（2）知：NC=PM=m，

∴1﹣m+﹣m=m，

∴m=1．

∴PM=m=；

∴使△PBC為等腰三角形時的PM的值為0或．