Question

提出問題：爸爸出差回家?guī)Я艘粋�分布均勻的等腰三角形蛋糕禮物給兒子（如圖1，AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，雙胞胎兒子大毛和小毛決定只切一刀將這塊蛋糕平分吃（要求分得的蛋糕和巧克力質(zhì)量都一樣）．

背景介紹：這條分割直線即平分了三角形的面積，又平分了三角形的周長，我們稱這條線為三角形的“等分積周線”．
嘗試解決：
（1）大毛很快就想到了一條分割直線，而且用尺規(guī)作圖作出．請你幫大毛在圖1中作出這條“等分積周線”，從而平分蛋糕．
（2）小毛覺得大毛的方法很好，所以自己模仿著在蛋糕上過點C畫了一條直線CD交AB于點D．你覺得小毛會成功嗎？如能成功，說出確定的方法；如不能成功，請說明理由．（用圖2說明）
（3）若AB=BC=5cm，AC=6cm，如圖3，你能找出幾條△ABC的“等分積周線”，請分別畫出，并簡要說明確定的方法．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，作線段AC的中垂線BD即可．
（2）小毛不會成功．直線CD可能平分△ABC的面積，若也平分周長，則AC=BC，與題中的AC≠BC沖突，故不會成功；
（3）①若直線經(jīng)過頂點，則AC邊上的中垂線即為所求．
②若直線不過頂點，可分以下三種情況考慮：（a）直線與BC、AC分別交于E、F，CF=5，CE=3；（b）直線與AB、AC分別交于M、N，AM=3，AN=5，（c）直線與AB、BC分別交于P、Q，此種情況不存在．則符合條件的直線共有三條．

解答：解：（1）作線段AC的中垂線BD即可．

（2）小毛不會成功．
若直線CD平分△ABC的面積，那么S_△ADC=S_△DBC．
如圖2，過點C作CE⊥AB，垂足為E．
則 

1

2

AD•CE=

1

2

BD•CE
則BD=AD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC
∴小毛不會成功．

（3）分類討論：
①如圖3，若分割直線經(jīng)過△ABC頂點，由（1）（2）可知，只有過等腰三角形的頂角頂點的直線是才可能為“等分積周線”，
即底AC邊上的中垂線BD為此時△ABC的“等分積周線”．
②若分割直線不經(jīng)過△ABC頂點，則分割直線將ABC分割為一個三角形和一個四邊形．可分以下三種情況：
（a）直線EF與BC、AC分別交于E、F，如圖4所示．

若直線EF平分三角形的周長16，則CF與CE的和是8．
設(shè)CF=x，則CE=8-x．CB=5，CG=3，BG=

52-32

=4，
∵EH∥BG，
∴△CEH∽△CBG，
∴

EH

BG

=

EC

BC

，
∴

EH

4

=

8-x

5

，
EH=

4

5

(8-x)，
若分割的兩部分面積相等，則
S_△CEF=6，
即

1

2

•x•

4

5

(8-x)=6，
解得x=3（舍去，即為①）或x=5，
∴當CF=5，CE=3時，直線EF即為所求△ABC的一條“等分積周線”．
（b）若直線E₁F₁與AB、AC分別交于E₁、F₁，如圖5所示．

由a同理可得，當A E₁=3，A F₁=5，直線E₁F₁即為所求△ABC的一條“等分積周線”．
（c）若直線PQ與AB、BC分別交于P、Q，如圖6所示．

設(shè)BQ=x，則BP=8-x．
∵AG×5=4×6，
∴AG=

24

5

，
∵PH∥AG，
∴△PHB∽△AGB，
∴

PH

AG

=

BP

AB

，
∴

PH

24 5

=

8-x

5

，
PH=

24

25

(8-x)
若分割的兩部分面積相等，則
S_△PBQ=6，
即

1

2

•x•

24

25

(8-x)=6，
整理可得出：2x ²-16x+25=0，
解得：x₁=

8+ 14

2

＞5（舍去），x₂=

8- 14

2

，
而當BQ=

8- 14

2

時，BP=

8+ 14

2

＞5，應(yīng)舍去．
故此種情況不存在．
綜上所述，符合條件的直線共有三條，直線BD、直線EF、直線E₁F₁．

點評：此題主要考查了相似三角形的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)等知識，運用分類討論的數(shù)學思想得出是解題關(guān)鍵．