Question

如圖，以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），直線x=1交x軸于點(diǎn)B．P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，作直線PC⊥PO，交直線x=1于點(diǎn)C．過(guò)P點(diǎn)作直線MN平行于x軸，交y軸于點(diǎn)M，交直線x=1于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，求證：△OPM≌△PCN；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，設(shè)AP長(zhǎng)為m，四邊形POBC的面積為S，請(qǐng)求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之在直線x=1上移動(dòng)，△PBC能否成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90°
∴四邊形OBNM為矩形
∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°
∵OA=OB，
∴∠1=∠3=45°
∵M(jìn)N∥OB，
∴∠2=∠3=45°
∴∠1=∠2=45°，
∴AM=PM
∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM
∴OM=PN
∵∠OPC=90°，
∴∠4+∠5=90°，
又∵∠4+∠6=90°，
∴∠5=∠6
∴△OPM≌△PCN

（2）∵AM=PM=APsin45°=

2

2

m，
∴OM=1-

2

2

m
∴S=S_矩形OBNM-2S_△POM=（1-

2

2

m）-2×

1

2

（1-

2

2

m）•

2

2

m
=

1

2

m²-

2

m+1（0≤m＜

2

2

）．

（3）△PBC可能成為等腰三角形
①當(dāng)P與A重合時(shí)，PC=BC=1，此時(shí)P（0，1）
②當(dāng)點(diǎn)C在第四象限，且PB=CB時(shí)
有BN=PN=1-

2

2

m
∴BC=PB=

2

PN=

2

-m
∴NC=BN+BC=1-

2

2

m+

2

-m
由（2）知：NC=PM=

2

2

m
∴1-

2

2

m+

2

-m=

2

2

m
整理得（

2

+1）m=

2

+1
∴m=1
∴PM=

2

2

m=

2

2

，BN=1-

2

2

m=1-

2

2

∴P（

2

2

，1-

2

2

）
由題意可知PC=PB不成立
∴使△PBC為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）或（

2

2

，1-

2

2

）．