Question

如圖，在等邊△ABC中，已知AB=8cm，線段AM為BC邊上的中線．點N在線段AM上，且MN=3cm，動點D在直線AM上運動，連接CD，△CBE是由△CAD旋轉得到的．以點C圓心，以CN為半徑作⊙C與直線BE相交于點P、Q兩點．

（1）填空：∠DCE=

60

度，CN=

5

cm，AM=

4

3

cm．
（2）如圖1當點D在線段AM上運動時，求出PQ的長．
（3）當點D在MA的延長線上時，請在圖2中畫出示意圖，并直接寫出PQ=

6

cm．
當點D在AM的延長線上時，請在圖3中畫出示意圖，并直接寫出PQ=

6

cm．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得∠ACD=∠BCE，然后求出∠DCE=∠ACB，從而得解；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出CM=

1

2

BC，再利用勾股定理列式計算即可求出CN；在Rt△ACM中，利用勾股定理列式計算即可求出AM；
（2）過點C作CF⊥PQ于F，根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得∠CBE=∠CAD=30°．根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得CF=

1

2

BC，連接CP，利用勾股定理列式求出PF，再根據(jù)垂徑定理可得PQ=2PF，從而得解；
（3）①點D在MA的延長線上時，根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得∠CBE=∠CAD，再根據(jù)等角的補角相等求出∠CBQ=∠CAM=30°，與（2）同理可求PQ；
②點D在AM的延長線上時，根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得∠CBE=∠CAD=30°，與（2）同理可求PQ．

解答：解：（1）∵△CBE是由△CAD旋轉得到，
∴∠ACD=∠BCE，
∴∠DCE=∠BCD+∠BCE=∠BCD+∠CAD=∠ACB，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠DCE=60°；
∵△ABC是等邊三角形，AM為BC邊上的中線，
∴BC=AB=8cm，
CM=

1

2

BC=

1

2

×8=4cm，
在Rt△CMN中，CN=

CM2+MN2

=

42+32

=5cm；
在Rt△ACM中，AM=

AC2-CM2

=

82-42

=4

3

cm；

（2）過點C作CF⊥PQ于F，
∵△ABC是等邊三角形，AM為BC邊上的中線，
∴∠CAD=

1

2

∠BAC=

1

2

×60°=30°，
∵△CBE是由△CAD旋轉得到，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
∴CF=

1

2

BC=

1

2

×8=4cm，
連接CP，則PC=CN=5cm，
在Rt△PCF中，PF=

PC2-CF2

=

52-42

=3cm，
由垂徑定理得，PQ=2PF=2×3=6cm；

（3）①如圖，點D在MA的延長線上時，
∵△CBE是由△CAD旋轉得到，
∴∠CBE=∠CAD，
∴∠CBQ=∠CAM=30°，
與（2）同理可求PQ=6cm，
②如圖，點D在AM的延長線上時，
∵△CBE是由△CAD旋轉得到，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
與（2）同理可求PQ=6cm，
綜上所述，PQ的長度不變都是6cm．
故答案為：（1）60，5，4

3

；（3）6，6．

點評：本題是圓的綜合題型，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小的性質(zhì)，勾股定理的應用，垂徑定理，熟記各性質(zhì)并作出輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．