Question

把矩形紙片OABC放人直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸和y軸的正半軸上．
（1）將紙片OAB C折疊，使點(diǎn)A與C重合，用直尺和圓規(guī)在原圖上作出折疊后的圖形，并在圖中標(biāo)明折疊后點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B’（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在矩形OABC中，連接AC，且AC=2

5

，tan∠OAC=

1

2

，求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；并求（1）中折痕的長．

Answer 1

分析：（1）首先確定折痕的位置，即AC的垂直平分線．然后根據(jù)對稱點(diǎn)的作法，作出點(diǎn)B關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，再順次連接即可；
（2）根據(jù)tan∠OAC=

1

2

，可設(shè)OC=m，則OA=2m，再根據(jù)勾股定理列方程求解．進(jìn)一步寫出點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）①作出AC中垂線，
②作出點(diǎn)B的對稱點(diǎn)B′，
③連接CB′、FB′、CE，
五邊形OEFB′C為折疊后的圖形．

（2）∵tan∠OAC=

OC

OA

=

1

2

，
∴OA=2OC．
設(shè)OC=m，則OA=2m，
∵OC²+OA²=AC²∴m²+4m²=20，
解得m=2或m=-2（負(fù)值舍去）．
∴m=2，OA=4．
∴A（4，0），C（0，2）．
∵

PE

PA

=tan∠PAE=

1

2

，
∴PE=

1

2

PA=

1

2

•

2 5

2

=

5

2

．
∴EF=2PE=

5

．
∴折痕EF的長是

5

．

點(diǎn)評：綜合運(yùn)用了軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)．