Question

（2009•邵陽）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，延長CB至F，使BF=CD．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）求證：△CAF為等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）在三角形中，等邊對等角，再利用角的等量關(guān)系可知∠ACB=∠ABC，在直角三角形中，兩銳角互余就可求解．
（2）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，連接DB，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及線段間的關(guān)系及平行的性質(zhì)，可證得AC=AF．
解答：（1）解：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB．
∵AD=DC，
∴∠DCA=∠DAC．
∴∠DCA=∠ACB=∠DCB．
∵DC=AB，
∴∠DCB=∠ABC．
∴∠ACB=∠ABC．
在△ACB中，∵AC⊥AB，
∴∠CAB=90°．
∴∠ACB+∠ABC=90°．
∴∠ABC+∠ABC=90°．
∴∠ABC=60°．（3分）

（2）證明：連接DB，
∵在梯形ABCD中，AB=DC，
∴AC=DB．
在四邊形DBFA中，DA∥BF，DA=DC=BF，
∴四邊形DBFA是平行四邊形．
∴DB=AF，
∴AC=AF．
即△ACF為等腰三角形．（6分）
點評：本題主要考查等腰梯形的性質(zhì)及等腰三角形的判定．