Question

如圖，點P在雙曲線y=

k

x

（k．＞0）第一象限內的分支上運動，以P為圓心的圓保持與y軸相切于點A，與雙曲線交于點B，點B在點P上方．
（1）當點P的橫坐標為2時，⊙P與y軸的切點A（0，

3

），試求雙曲線y=

k

x

的解析式；
（2）切點A是否有可能與坐標原點O重合？
（3）在（1）的條件下，是否存在點P，使得△ABP為正三角形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）點P的橫坐標為2時，⊙P與y軸的切點A（0，

3

），可得點P的坐標為：（2，

3

），然后由待定系數法即可求得雙曲線y=

k

x

的解析式；
（2）利用反證法，若切點A與坐標原點O重合，可得即點P在x軸上，又由反比例函數與x軸不相交，可得切點A不能與坐標原點O重合；
（3）設點P的坐標為：（a，

2 3

a

），由△ABP為正三角形，可求得點B的坐標為：（

1

2

a，

3

2

a+

2 3

a

），又由點B在雙曲線y=

2 3

x

上，即可得方程

1

2

a×（

3

2

a+

2 3

a

）=2

3

，解此方程即可求得a的值，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵點P的橫坐標為2時，⊙P與y軸的切點A（0，

3

），
∴點P的坐標為：（2，

3

），
∴

3

=

k

2

，
∴k=2

3

，
∴雙曲線y=

k

x

的解析式為：y=

2 3

x

；

（2）切點A不能與坐標原點O重合．
理由：若切點A與坐標原點O重合，
則點P的縱坐標為0，
即點P在x軸上，
∵反比例函數與x軸不相交，
∴點P不能在x軸上，
∴切點A不能與坐標原點O重合；

（3）存在．
理由：設點P的坐標為：（a，

2 3

a

），
則AP=a，
過點B作BC⊥AP于點C，
∵△ABP為正三角形，
∴AC=

1

2

AP=

1

2

a，∠BAP=60°，
在Rt△BAC中，BC=AC•cos∠BAP=

1

2

a×

3

=

3

2

a，
∴點B的坐標為：（

1

2

a，

3

2

a+

2 3

a

），
∵點B在雙曲線y=

2 3

x

上，
∴

1

2

a×（

3

2

a+

2 3

a

）=2

3

，
解得：a²=4，
∴a=±2．
∵點P在第一象限，
∴a=2，
∴點P的坐標為：（2，

3

）．

點評：此題考查了待定系數法求反比例函數的解析式、切線的性質、正三角形的性質以及點與反比例函數的性質．此題難度較大，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．