Question

已知：如圖，直線MN切⊙O于點C，AB為⊙O的直徑，延長BA交直線MN于M點，AE⊥MN，BF⊥MN，E、F分別為垂足，BF交⊙O于G，連接AC、BC，過點C作CD⊥AB，D為垂足，連接OC、CG．下列結論，其中正確的有
①CD=CF=CE；　　　 ②EF²=4AE•BF；
③AD•DB=FG•FB；　�、躆C•CF=MA•BF．

1. A.
   ①②③
2. B.
   ②③④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

D
分析：①由MN與圓O相切于點C，根據弦切角定理可得∠ACE=∠ABC，又由AB為圓O直徑，可得AC⊥BC，則可證得Rt△AEC≌Rt△ADC，同理可得Rt△BCD≌Rt△BCF，根據全等三角形的對應邊相等，即可得CD=CF=CE；
②由①可證得Rt△ACE∽Rt△CBF，根據相似三角形的對應邊成比例，與CE=CF=EF，即可證得EF²=4AE•BF；
③由Rt△BCD≌Rt△BCF與Rt△ACE≌Rt△GCF即可證得AD•DB=FG•FB；
④由△AME∽△CMD與Rt△ACD∽Rt△BCF．利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得MC•CF=MA•BF．
解答：∵MN與圓O相切于點C，
∴∠ACE=∠ABC，
又∵AB為圓O直徑，
∴AC⊥BC，
∵CD⊥AB，
∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-∠DAC=∠ACD，
∴∠ACE=∠ACD，
∵∠AEC=∠ADC=90°，
在Rt△AEC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△ADC（AAS），
∴CD=CE，
同理，Rt△BCD≌Rt△BCF，
∴CD=CE=CF，
故①正確；
由①的過程知：∠ACE=∠DBC=∠FBC，
∵∠AEC=∠CFB=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△CBF，
∴，
∴CE•CF=AE•BF，
由①的結論知，CE=CF=EF，
∴EF²=AE•BF
∴EF²=4AE•BF，
故②正確；
由①過程知，Rt△BCD≌Rt△BCF
∴DB=FB…（1）
∵MN為⊙O切線，
∴∠FCG=∠FBC=∠ABC=∠ACE，
由①結論知，CE=CF，
∵∠AEC=∠GFC=90°，
在Rt△ACE和Rt△GCF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△GCF（ASA），
而由①的過程知，Rt△ACE≌Rt△ACD，
∴Rt△ACD≌Rt△GCF，
∴AD=FG…（2）
由（1）（2）得到：AD•DB=FG•FB；
故③正確；
∵∠M=∠M，∠AEM=∠ADC，
∴△AME∽△CMD，
∴，
∵AE=AD，
∴，
∴，…（3）
又∵Rt△ACD∽Rt△BCF，
∴，…（4）
由（3）（4）得到：，
∴MC•CF=MA•BF；
故④正確．
故選D．
點評：此題考查了圓周角定理，切線的性質，相似三角形與全等三角形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意比例的性質．