Question

①如圖，四邊形ABCD中，對角線相交于點O，E、F、G、H分別是AD，BD，BC，AC的中點．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）當四邊形ABCD滿足一個什么條件時，四邊形EFGH是菱形？并證明你的結(jié)論；
②如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC中點，CE⊥AD于E，BF∥AC，交CE的延長線與點F．求證：AB垂直平分DF．

Answer 1

分析：①（1）由三角形中位線知識可得EF=GH，EF∥GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）要是菱形，只需增加相鄰兩邊相等，如要得到EF=GF，由中位線知識，只須AB=CD．
②∵FB∥AC，∠ACB=90°∴∠FBC=90°，由AC=BC、∠ACB=90°∴∠DBA=45°，AB是∠CBF平分線．證明Rt△ADC≌Rt△FBC，所以DB=FB，所以，AB垂直平分DF（等腰三角形中的三線合一定理）．

解答：①（1）證明：
∵E、F分別是AD、BD中點，
∴EF∥AB，EF=

1

2

AB，
同理GH∥AB，GH=

1

2

AB，
∴EF=GH，EF∥GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）解：當四邊形ABCD滿足AB=CD時，四邊形EFGH是菱形．
證明：F、G分別是BD、BC中點，所以GF=

1

2

CD，
∵AB=CD，∴EF=GF
又∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴四邊形EFGH是菱形．

②證明：∵∠ACB=90°，Rt△ADC中，∠1+∠2=90°，
∵AD⊥CF，在Rt△EDC中，∠3+∠2=90°，得：∠1=∠3．
∵FB∥AC，∠ACB=90°，∴∠FBC=90°，得：△FBC是直角三角形．
∵AC=BC，∠1=∠3，△FBC是直角三角形
∴Rt△ADC≌Rt△FBC．
∴CD=FB，已知CD=DB，可得：DB=FB．
由AC=BC、∠ACB=90°，可得：∠4=45°，AB是∠CBF平分線．
所以，AB垂直平分DF（等腰三角形中的三線合一定理）．

點評：本題考查了中位線知識，平行四邊形和菱形的判斷方法．