Question

（2012•泰州模擬）如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0）、B（4，3）兩點(diǎn)，且當(dāng)x=3和x=-3時(shí)，這條拋物線上對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，經(jīng)過點(diǎn)C（0，-2）的直線l與x軸平行．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）若D是直線l上的一個(gè)動點(diǎn)，求使△DAB的周長最小時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）以這條拋物線上的任意一點(diǎn)P為圓心，PO的長為半徑作⊙P，試判斷⊙P與直線l的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用當(dāng)x=3和x=-3時(shí)，這條拋物線上對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，所以b=0，假設(shè)出解析式為y=ax²+c，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）利用軸對稱得出D點(diǎn)位置，進(jìn)而求出直線A′B的解析式，即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）首先求出圓的半徑PO，進(jìn)而得出點(diǎn)P到直線l的距離，進(jìn)而得出⊙P與直線l的位置關(guān)系即可．

解答：解：（1）因?yàn)楫?dāng)x=3和x=-3時(shí)，這條拋物線上對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，所以b=0．
把x=-2，y=0；x=4，y=3，代入y=ax²+c，得：

4a+c=0 16a+c=3

，
解得

a= 1 4 c=-1

，
所以這條拋物線的解析式為y=

1

4

x2-1．

（2）作點(diǎn)A（-2，0）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′（-2，-4），
如圖，連接A′B交直線l于點(diǎn)D，此時(shí)△DAB的周長最小．
設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+m，把x=-2，y=-4；x=4，y=3，代入y=kx+m，得：

-2k+m=-4 4k+m=3

，
解得

k= 7 6 m=- 5 3

，
所以直線A′B的解析式為y=

7

6

x-

5

3

，
利用直線A′B于l相交，則-2=

7

6

x-

5

3

，
解得：x=-

2

7

，
故點(diǎn)D的坐標(biāo)(-

2

7

，-2)．

（3）⊙P與直線l相切．
設(shè)拋物線y=

1

4

x2-1上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p，

1

4

p2-1)，則
PO=

p2+( 1 4 p2-1)2

=

1 16 p4+ 1 2 p2+1

=

( 1 4 p2+1)2

=

1

4

p2+1，
點(diǎn)P到直線l的距離=

1

4

p2-1-(-2)=

1

4

p2+1，
所以點(diǎn)P到直線l的距離=⊙P的半徑PO，
所以⊙P與直線l相切．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及切線的判定、待定系數(shù)法求一次、二次函數(shù)解析式等知識，利用軸對稱得出D點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．