Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，M是OB上一點(diǎn)，將△ABM沿AM折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸上的點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求直線AM的解析式；
（3）設(shè)直線l：x=t（-4＜t＜6）與直線AM的交點(diǎn)為P，與過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線交于點(diǎn)Q，求PQ的最大值．

Answer 1

解：（1）當(dāng)X=0時(shí)，y=8；當(dāng)y=0時(shí)，x=6
∴A（6，0），B（0，8）
∴AO=6，BO=8
∵AB²=AO²+BO²
∴AB=10，
依題意得：AC=AB，MC=MB
∴C（-4，0）

（2）在△MOC中，設(shè)OM=a，則MC=OB-MO=8-a
∴OC²=MC²-MO²即16=（8-a）²-a²
∴a=3，M（0，3）
設(shè)直線MA的解析式為y=kx+b
∴解得：
∴直線MA的解析式為：y=-x+3；

（3）設(shè)經(jīng)過(guò)A（6，0），B（0，8），C（-4，0）的拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c
∴36a+6b+c=0，
0=16a-4a+c，
8=c
∴a=-，b=，c=8∴y=-x²+x+8
∴直線x=t與直線AM的交點(diǎn)P的坐標(biāo)：P（t，-t+3），與拋物線y=-x²+x+8的交點(diǎn)坐標(biāo)Q（t，-t²+t+8）
∴PQ=-t²+t+8-（-t+3）
=-t²+t+5=-（t-）²+
∴當(dāng)t=時(shí)，PQ的最大值為
分析：由題知，AB沿AM翻轉(zhuǎn)到AC，可通過(guò)折疊的性質(zhì)推出，線段AC=AB，從而求出點(diǎn)C坐標(biāo)，結(jié)合三角形勾股定理和拋物線的解析式，求解出PQ的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查翻轉(zhuǎn)后圖形的性質(zhì)，和拋物線與直線聯(lián)系，能夠很好的考查學(xué)生關(guān)于此類(lèi)問(wèn)題的基本功，需要考生平時(shí)細(xì)心做題．