Question

古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以寫成兩個相鄰“三角形數(shù)”之和．即：（1）4=1+3，（2）9=3+6，（3）16=6+10，…按這一規(guī)律，請你寫出第2012個圖中的一條等式：

2013²=

2013×(2013-1)

2

+

2013×(2013+1)

2

．

Answer 1

分析：觀察圖象中點的個數(shù)的規(guī)律有第一個圖形是4=2²=1+2+1，第二個圖形是9=3²=1+2+3+2+1，第三個圖形是16=4²=1+2+3+4+3+2+1，則按照此規(guī)律得到第n個圖形為：（n+1）²=1+2+3+4+…+（n-1）+n+（n+1）+n+（n-1）+（n-2）+…+1=[1+2+3+4+…+（n-1）+n]+[（n+1）+n+（n-1）+（n-2）+…+1]，然后求出即可．

解答：解：∵4=2²=1+2+1，
9=3²=1+2+3+2+1，
16=4²=1+2+3+4+3+2+1，
∴36=6²=1+2+3+4+5+6+5+4+3+3+2+1=15+21；
（n+1）²=1+2+3+4+…+（n-1）+n+（n+1）+n+（n-1）+（n-2）+…+1
=[1+2+3+4+…+（n-1）+n]+[（n+1）+n+（n-1）+（n-2）+…+1]
=

1

2

n（n+1）+

1

2

（n+1）（n+2），
∴第2012個圖中：
∴2013²=

2013×(2013-1)

2

+

2013×(2013+1)

2

．
故答案為：2013²=

2013×(2013-1)

2

+

2013×(2013+1)

2

．

點評：本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．