Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（1，

3

），點B在x軸的負半軸上，且∠AB0=30°，拋物線經(jīng)過A，O，B三點．
（1）求拋物線的解析式及對稱軸；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△AOC的周長最�。咳舸嬖�，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點P，過點P作x軸的垂線，交直線AB于點D，線段OD把△AOB分成兩個三角形，使其中一個三角形面積與四邊形BPOD面積之比為2：3？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過點A，O，B，運用待定系數(shù)法就可以直接求出拋物線的解析式；
（2）過點A作x軸的垂線與x軸的交點是C，作CA⊥AB于A，交x軸于點C，這就是滿足條件的C，利用解直接三角形就可以求出C點的坐標；
（3）由A、B的坐標可以求出直線AB的解析式，設(shè)出點P的坐標，就可以表示出E的坐標，利用面積之比建立等量關(guān)系根據(jù)兩種不同的情況就可以求出P的解析式．

解答：解：（1）如圖，過點A作AF⊥x軸于點F，
在Rt△ABF中，∠AB0=30⁰，A的坐標為（1，

3

），
∴OF=1，AF=

3

，BF=3．
∴BO=BF-OF=2．  B（-2，O）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x+2）．將點A（l，

3

）代入，得a=

3

3

，
∴拋物線的解析式為y=

3

3

x²+

2 3

3

x，對稱軸為直線x=-1，
（2）存在點C 設(shè)拋物線的對稱軸x=-1交x軸于點E．，
∵點B（一2，O）和點O（0，O）關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∴當點C位于對稱軸與線段AB的交點時，△AOC的周長最�。�
∵△BCE∽△BAF，
∴

BE

BF

=

CF

AF

，
∴CE=

BE•AF

BF

=

3

3

，
∴C點的坐標是（-1，

3

3

）；
（3）在x軸下方的拋物線上存在一點P，使其中一個三角形面積與四邊形BPOD面積之比為2：3，
理由如下：
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則

k+b= 3 -2k+b=0

，解得：

k= 3 3 b= 2 3 3

，
∴直線AB的解析式為y=

3

3

x+

2 3

3

，
如圖連接AO，設(shè)P（m，n），
則D（m，

3

3

m+

2 3

3

），n=

3

3

m²+

2 3

3

m，
S_{四邊形BPOD}=

1

2

BO•DP=

1

2

×2（

3

3

m+

2 3

3

-n）=-

3

3

m²-

3

3

m+

2 3

3

，
S_△BOD=

1

2

×2×（

3

3

m+

2 3

3

）=

3

3

m+

2 3

3

，
S_△AOD=S_△AOB-S_△BOD=

1

2

×2

3

-

3

3

m+

2 3

3

=-

3

3

m+

3

3

，
①要使三角形AOD面積與四邊形BPOD面積之比為2：3則，
2（-

3

3

m²-

3

3

m+

2 3

3

）=3（-

3

3

m+

3

3

），
∴2m²-m-1=0，解得：m=-

1

2

或1（舍），
∴P（-

1

2

，-

3

4

）；
②要使三角形BOD面積與四邊形BPOD面積之比為2：3則，
2（-

3

3

m²-

3

3

m+

2 3

3

）=3（

3

3

m+

2 3

3

），
∴2m²+5m+1=0，解得：m=-

1

2

或-2，
∴P（-

1

2

，-

3

4

）或P（-2，0）（不符合題意），
∴存在點P滿足要求，起坐標為P（-

1

2

，-

3

4

）．

點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程的應(yīng)用，題目的綜合性很強，對學(xué)生的解題的能力要求很高．