Question

已知關于x的一元二次方程（m-1）x²+（2m-1）x+m-2=0．
（1）當m為何值時，該方程有兩個不相等的實數根？
（2）當m為何值時，該方程有兩個相等的實數根？并求出這時方程的根．

Answer 1

分析：（1）根據方程有兩個不相等的實數根，可得△=b²-4ac=（2m-1）²-4×（m-1）×（m-2）=8m-7＞0，且m-1≠0，解不等式即可；
（2）根據方程有兩個相等的實數根，可得△=b²-4ac=（2m-1）²-4×（m-1）×（m-2）=8m-7=0，解方程可得m的值，再把m的值代入方程（m-1）x²+（2m-1）x+m-2=0，解一元二次方程即可．

解答：解：（1）∵關于x的一元二次方程（m-1）x²+（2m-1）x+m-2=0有兩個不相等的實數根，
∴△=b²-4ac=（2m-1）²-4×（m-1）×（m-2）=8m-7＞0，且m-1≠0，
解得：m＞

7

8

且m≠1；

（2）∵關于x的一元二次方程（m-1）x²+（2m-1）x+m-2=0有兩個相等的實數根，
∴△=b²-4ac=（2m-1）²-4×（m-1）×（m-2）=8m-7=0，
解得：m=

7

8

，
∴方程變?yōu)椋?

1

8

x²+

3

4

x+

9

8

=0，
兩邊同時乘以8得：x²-6x-9=0，
x=

6± 36+36

2×1

=3±3

2

，
則：x₁=3+3

2

，x₂=3-3

2

．

點評：此題主要考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系，以及一元二次方程的解法，關鍵是掌握：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．