Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+ x+c與x軸的負半軸交于點A，與y軸交于點B，連結AB，點C（6， ）在拋物線上，直線AC與y軸交于點D．

（1）求c的值及直線AC的函數表達式；
（2）點P在x軸正半軸上，點Q在y軸正半軸上，連結PQ與直線AC交于點M，連結MO并延長交AB于點N，若M為PQ的中點．
①求證：△APM∽△AON；
②設點M的橫坐標為m，求AN的長（用含m的代數式表示）．

Answer 1

【答案】
（1） 解：把C點坐標代入拋物線解析式可得 ， 解得c=﹣3，∴拋物線解析式為 ， 令y=0可得 ，解得x=﹣4或x=3，∴A（﹣4，0），設直線AC的函數表達式 為y=kx+b（k≠0），把A、C坐標代入可得： ，解得： ，∴直線AC的函數表達式為

（2） 解：①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB= = ，在RtAOD中，tan ∠OAD= = ，∴∠OAB=∠OAD，∵在Rt△POQ中，M為PQ的中點，∴OM=MP，∴∠MOP=∠MPO，且∠MOP=∠AON，∴∠APM=∠AON，∴△APM∽△AON；

②如圖，過點M作ME⊥x軸于點E，

則OE=EP，∵點M的橫坐標為m，∴AE=m+4，AP=2m+4，∵tan∠OAD= ，∴co s∠EAM=cos∠OAD= ，∴ = ，∴AM= AE= ， ∵△APM∽△AON，∴ ， 即 ，∴AN=

【解析】（1）把C點坐標代入拋物線解析式，求出拋物線解析式，得到點A的坐標，把A、C坐標代入，求出直線AC的函數表達式；（2）根據解直角三角形，得到∠OAB=∠OAD，再由已知條件得到△APM∽△AON；得出比例，求出AN的值.
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的判定與性質和解直角三角形，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)即可以解答此題．