Question

如圖：將三角形紙片ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，且DE∥BC，下列結(jié)論中，一定正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
①△BDF是等腰三角形；②DE=

1

2

BC；③∠BDF+∠FEC=2∠A；④四邊形ADFE是菱形．

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：先根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠ADE=∠FDE，AD=FD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADE=∠B，∠FDE=∠BFD，則∠B=∠BFD，于是根據(jù)等腰三角形的判定可對(duì)①進(jìn)行判斷；由∠B=∠BFD得DB=DF，易得AD=DB，即D為AB的中點(diǎn)，可判斷DE為△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可對(duì)②進(jìn)行判斷；同理可得∠C=∠EFC，
再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BDF=180°-∠B-∠BFD=180°-2∠B，∠FEC=180°-∠C-∠EFC=180°-2∠C，則∠BDF+∠FEC=360°-2（∠B+∠C）=360°-2（180°-∠A）=2∠A，所以可對(duì)③進(jìn)行判斷；由于AD=DF，AE=EC，只有當(dāng)AD=AE時(shí)，四邊形ADFE是菱形，則要有△ABC為等腰三角形，而條件中沒(méi)有△ABC為等腰三角形，則可對(duì)④進(jìn)行判斷．

解答：解：∵三角形紙片ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，
∴∠ADE=∠FDE，AD=FD，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠FDE=∠BFD，
∴∠B=∠BFD，
∴△BDF是等腰三角形，所以①正確；
∴DB=DF，
∴AD=DB，即D為AB的中點(diǎn)，
而DE∥BC，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE=

1

2

BC，所以②正確；
同理可得∠C=∠EFC，
∵∠BDF=180°-∠B-∠BFD=180°-2∠B，
∠FEC=180°-∠C-∠EFC=180°-2∠C，
∴∠BDF+∠FEC=360°-2（∠B+∠C）=360°-2（180°-∠A）=2∠A，所以③正確；
∵AD=DF，AE=EC，
∴當(dāng)AD=AE時(shí)，四邊形ADFE是菱形，此時(shí)△ABC為等腰三角形，
而△ABC不確定為等腰三角形，
∴不能判斷四邊形ADFE是菱形，所以④錯(cuò)誤．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了等腰三角形的判定、三角形內(nèi)角和定理和菱形的判定．