Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，已知，．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）如圖2，若點(diǎn)是直線(xiàn)上方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，作于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，求的面積；

（3）若點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，當(dāng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與直線(xiàn)相切時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)為或

【解析】

⑴根據(jù)，求出B、C的坐標(biāo)，再代入求出解析式；

⑵根據(jù)題意可證△PED∽△BOC,再利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求出△PED的面積；

⑶根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及切線(xiàn)性質(zhì)構(gòu)造相似三角形來(lái)求出點(diǎn)M的坐標(biāo).點(diǎn)M在直線(xiàn)BC的上方或在直線(xiàn)BC的下方兩種情況來(lái)討論．

解：（1），

，，

點(diǎn)為，點(diǎn)為

代入得：

，

（2）當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為，

點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為

直線(xiàn)解析式為，

平行于軸，點(diǎn)坐標(biāo)為

平行于軸，

，，

，

與的面積之比是對(duì)應(yīng)邊與的平方，

的面積為，

的面積是

（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

，

與直線(xiàn)相切，，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

如圖1，點(diǎn)的坐標(biāo)為

代入直線(xiàn)得

解得，

點(diǎn)的坐標(biāo)為或

圖1

如圖2，點(diǎn)的坐標(biāo)為

代入直線(xiàn)得

方程無(wú)解

綜上，點(diǎn)為或

圖2