Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=10cm，AD=18cm，BC=21cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD向點(diǎn)D以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿邊CB向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，若點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)這兩點(diǎn)有一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，沒(méi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）求四邊形APQB的面積；（用含t的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形？
（3）連接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面積、△PCD的面積與四邊形APQB的面積同時(shí)相等？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）用t表示出AP和BQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)梯形的面積公式進(jìn)行解答，
（2）過(guò)P作PN⊥BC于N，過(guò)D作DM⊥BC于M，根據(jù)題干條件求出MC的長(zhǎng)，用t表示出QN的長(zhǎng)，若梯形PQCD為等腰梯形，則QN=MC，列出等式解出t的值，
（3）若△PQC的面積與△PCD的面積相等，則

1

2

CQ×10=

1

2

PD×10，即CQ=PD，解出t的值，然后分別求出△PQC的面積、△PCD的面積與四邊形APQB的面積，驗(yàn)證相等是否成立．

解答：解：（1）根據(jù)題意可知AP=t，BQ=21-2t，
故S_{四邊形APQB}=

t+21-2t

2

×10=105-5t，

（2）過(guò)P作PN⊥BC于N，過(guò)D作DM⊥BC于M，
∵AD∥BC，∠B=90°，DM⊥BC，
∴四邊形ABMD是矩形，AD=BM．
∴MC=BC-BM=BC-AD=3．
又∵QN=BN-BQ=AP-BQ=t-（21-2t）=3t-21．
若梯形PQCD為等腰梯形，則QN=MC．
得3t-21=3，t=8，即t=8秒時(shí)，梯形PQCD是等腰梯形．

（3）若△PQC的面積與△PCD的面積相等，則

1

2

CQ×10=

1

2

PD×10，
∴CQ=PD，即2t=18-t，解得t=6，此時(shí)S_△PQC=S_△PCD=

1

2

×12×10=60，
∴S_APQB=

6+9

2

×10=75，
所以不存在t的值，使得△PQC的面積、△PCD的面積與四邊形APQB的面積同時(shí)相等．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰梯形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰梯形的判定定理和梯形的面積計(jì)算公式，此題難度一般．