Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A、B、C的坐標分別為（-1，0），（5，0），（0，2）．
（1）求過A、B、C三點的拋物線解析式；
（2）若點P從A點出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向B點移動，連接PC并延長到點E，使CE=PC，將線段PE繞點P順時針旋轉90°得到線段PF，連接FB．若點P運動的時間為t秒，（0≤t≤6）設△PBF的面積為S；
①求S與t的函數關系式；
②當t是多少時，△PBF的面積最大，最大面積是多少？
（3）點P在移動的過程中，△PBF能否成為直角三角形？若能，直接寫出點F的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為拋物線過A、B、C三點，所以此三點的坐標使拋物線的解析式成立．
（2）①此題要分作兩種情況進行討論：
一、當P點位于原點左側，線段OA上；此時0≤t＜1，可用t表示出OP、BP的長，欲求△BPF的面積，關鍵要求出BP邊上的高，可過F作FD⊥x軸于D；由于∠CPF=90°，易證得△OPC∽△DFP，根據已知條件可知PF=PE=2PC，即兩個相似三角形的相似比為2，那么DF=2OP，由此可得到DF的長，以BP為底，DF為高，即可求得△BPF的面積表達式，也就得到了關于S、t的函數關系式；
二、當P點位于原點右側，線段BP上；此時1＜t＜6，可仿照一的方法進行求解；
②根據①得到的S、t的函數關系式，及相應的自變量的取值范圍，即可根據函數的性質求得S的最大值及對應的t值，然后進行比較即可得到結果．
（3）當P位于線段OA上時，顯然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF＜∠CPF=90°，所以P不可能是直角頂點，可分兩種情況進行討論：
①F為直角頂點，過F作FD⊥x軸于D，由（2）可知BP=6-t，DP=2OC=4，在Rt△OCP中，OP=t-1，由勾股定理易求得CP=t²-2t+5，那么PF²=（2CP）²=4（t²-2t+5）；在Rt△PFB中，F(xiàn)D⊥PB，由射影定理可求得PB=PF²÷PD=t²-2t+5，而PB的另一個表達式為：PB=6-t，聯(lián)立兩式可得t²-2t+5=6-t，即t=

1+ 5

2

；
②B為直角頂點，那么此時的情況與（2）題類似，△PFB∽△CPO，且相似比為2，那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此時t=2．

解答：解：（1）（法一）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），把A（-1，0），B（5，0），C（0，2）三點代入解析式得：

a-b+c=0 25a+5b+c=0 c=2

，
解得

a=- 2 5 b= 8 5 c=2

；
∴y=-

2

5

x2+

8

5

x+2；（3分）
（法二）設拋物線的解析式為y=a（x-5）（x+1），
把（0，2）代入解析式得：2=-5a，
∴a=-

2

5

；
∴y=-

2

5

(x+1)(x-5)，
即y=-

2

5

x2+

8

5

x+2；（3分）

（2）①過點F作FD⊥x軸于D，
當點P在原點左側時，BP=6-t，OP=1-t；
在Rt△POC中，∠PCO+∠CPO=90°，
∵∠FPD+∠CPO=90°，
∴∠PCO=∠FPD；
∵∠POC=∠FDP，
∴△CPO∽△PFD，（5分）
∴

FD

PO

=

PF

PC

；
∵PF=PE=2PC，
∴FD=2PO=2（1-t）；（6分）
∴S_△PBF=

1

2

BP×DF=t²-7t+6（0≤t＜1）；（8分）
當點P在原點右側時，OP=t-1，BP=6-t；
∵△CPO∽△PFD，（9分）
∴FD=2（t-1）；
∴S_△PBF=

1

2

BP×DF=-t²+7t-6（1＜t＜6）；（11分）
②當0≤t＜1時，S=t²-7t+6；
此時t在t=3.5的左側，S隨t的增大而減小，則有：
當t=0時，Smax=0-7×0+6=6；
當1＜t＜6時，S=-t²+7t-6；
由于1＜3.5＜6，故當t=3.5時，Smax=-3.5×3.5+7×3.5+6=6.25；
綜上所述，當t=3.5時，面積最大，且最大值為6.25．

（3）能；（12分）
①若F為直角頂點，過F作FD⊥x軸于D，由（2）可知BP=6-t，DP=2OC=4，
在Rt△OCP中，OP=t-1，
由勾股定理易求得CP²=t²-2t+5，那
么PF²=（2CP）²=4（t²-2t+5）；
在Rt△PFB中，F(xiàn)D⊥PB，
由射影定理可求得PB=PF²÷PD=t²-2t+5，
而PB的另一個表達式為：PB=6-t，
聯(lián)立兩式可得t²-2t+5=6-t，即t=

1+ 5

2

，
P點坐標為（

5 -1

2

，0），
則F點坐標為：（

5 +7

2

，

5

-1）；

②B為直角頂點，那么此時的情況與（2）題類似，△PFB∽△CPO，且相似比為2，
那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此時t=2，
P點坐標為（1，0）．FD=2（t-1）=2，
則F點坐標為（5，2）．（14分）

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、以及三角形面積的求法、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質等重要知識點；在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．