Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，∠ACD=30°，AB=12，BC=10，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于E，把△ABC分割成兩個(gè)直角三角形，然后解直角三角形ABE，求出AE、BE，再利用勾股定理在Rt△BEC求出CE，這樣就求出AC，最后在Rt△ADC中解直角三角形就可以求出AD，再利用三角函數(shù)求出DC的長(zhǎng)，從而求出四邊形ABCD的周長(zhǎng)．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于E，則∠AEB=∠BEC=90°．
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠ACD=30°．
又∵AB=12，
∴EB=

1

2

AB=6，AE=AB•cos30°=6

3

，
在Rt△BEC中，∠BEC=90°，
∴CE=

BC2 -BE2

=8，
∴AC=AE+EC=6

3

+8，
在Rt△ADC中，∠D=90°，∠ACD=30°，
∴AD=

1

2

AC=3

3

+4，DC=AC•cos30°=（6

3

+8）×

3

2

=9+4

3

，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=AD+DC+BC+AB=3

3

+4+9+4

3

+10+12=35+7

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及特殊角的銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是把解直角三角形和勾股定理的計(jì)算和梯形的知識(shí)結(jié)合起來(lái)，利用三角形的知識(shí)解決梯形的問(wèn)題．