Question

若以一個三角形的最長邊所在直線為對稱軸，把這個三角形進行翻折，則稱所得的四邊形為準菱形．
（1）如圖，在以對角線AC所在直線為對稱軸的準菱形ABCD中，BD平分∠ABC，求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）有同學說“如果在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC，AC平分BD，那么這個四邊形是平行四邊形”，你認為這種說法正確嗎？如果正確，請給出證明；如果不正確，請舉出反例．

Answer 1

（1）證明：∵AC是準菱形ABCD的對稱軸，
∴OB=OD，AC⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
在△ABO和△CBO中，
∵，
∴△ABO≌△CBO（ASA），
∴OA=OC，
∴四邊形ABCD是菱形（對角線互相垂直平分的四邊形是菱形）；

（2）不正確，例如：箏形ABCD，滿足∠ABC=∠ADC，AC平分BD，但不是平行四邊形．

分析：（1）根據AC是對稱軸可得OB=OD，AC⊥BD，再根據BD平分∠ABC可得∠ABO=∠CBO，利用“角邊角”證明△ABO和△CBO全等，根據全等三角形對應邊相等可得OA=OC，然后根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形證明；
（2）從兩底邊相等的等腰三角形，底邊重合組成的四邊形滿足要求但不一定是平行四邊形．
點評：本題考查了菱形的判定，主要利用了對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，（2）從等腰三角形的兩底角相等考慮舉反例．