Question

如圖，大海中有A和B兩個(gè)島嶼，為測(cè)量它們之間的距離，在海岸線PQ上點(diǎn)E處測(cè)得∠AEP=70°，∠BEQ=30°；在點(diǎn)F處測(cè)得∠AFP=60°，∠BFQ=60°，EF=(4

3

-5)km．
（1）判斷線段AB與AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）求兩個(gè)島嶼A和B之間的距離．（sin70°≈

12

13

，cos70°≈

5

13

）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)SAS即可證明△AEF≌△ABF，得到AB=AE；
（2）作AH⊥PQ，垂足為H．設(shè)AE=x，在直角△AHF，直角△AEP中，利用三角函數(shù)表示出HE與HF，從而可得到關(guān)于x的方程，解方程即可得解．

解答：解：（1）相等．
∵∠BEQ=30°，∠BFQ=60°，
∴∠EBF=∠BEQ=30°，
∴EF=BF，
又∵∠AFP=60°，
∴∠BFA=60°．
在△AEF與△ABF中，
∵

EF=BF ∠AFE=∠AFB AF=AF

，
∴△AEF≌△ABF（SAS），
∴AB=AE；

（2）過點(diǎn)A作AH⊥PQ，垂足為H．
設(shè)AE=xkm，
則AH=xsin70°km，HE=xcos70°km，
∴HF=HE+EF=xcos70°+4

3

-5（km），
Rt△AHF中，AH=HF•tan60°，
∴xsin70°=（xcos70°+4

3

-5）•tan60°，
即：

12

13

x=（

5

13

x+4

3

-5）×

3

，
解得：x≈13，
即AB=AE=13km．
答：兩個(gè)島嶼A與B之間的距離約為13km．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了方向角問題．注意能運(yùn)用了三角函數(shù)，把求線段的問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題是解此題的關(guān)鍵，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．