Question

如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．
（1）求梯形ABCD的面積S；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度，沿B?A?D?C方向，向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度，沿C?D?A方向，向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作QE⊥BC于點(diǎn)E．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)目的地時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問：
①當(dāng)點(diǎn)P在B?A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
②在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t，使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與△CQE相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
③在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）過D作DH∥AB交BC于H點(diǎn)，
∵AD∥BH，DH∥AB，
∴四邊形ABHD是平行四邊形．
∴DH=AB=8；BH=AD=2．
∴CH=8-2=6．
∵CD=10，
∴DH²+CH²=CD²∴∠DHC=90°．
∠B=∠DHC=90°．
∴梯形ABCD是直角梯形．
∴S_ABCD=

1

2

（AD+BC）AB=

1

2

×（2+8）×8=40．

（2）①∵BP=CQ=t，
∴AP=8-t，DQ=10-t，
∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
∴8-t+2+10-t=t+8+t．
∴t=3＜8．
∴當(dāng)t=3秒時(shí)，PQ將梯形ABCD周長平分．
②第一種情況：0＜t≤8若△PAD∽△QEC則∠ADP=∠C
∴tan∠ADP=tan∠C=

8

6

=

4

3

∴

8-t

2

=

4

3

，∴t=

16

3

若△PAD∽△CEQ則∠APD=∠C
∴tan∠APD=tan∠C=

8

6

=

4

3

，∴

2

8-t

=

4

3

∴t=

13

2

第二種情況：8＜t≤10，P、A、D三點(diǎn)不能組成三角形；
第三種情況：10＜t≤12△ADP為鈍角三角形與Rt△CQE不相似；
∴t=

16

3

或t=

13

2

時(shí)，△PAD與△CQE相似．

③第一種情況：當(dāng)0≤t≤8時(shí)．過Q點(diǎn)作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足為E、H．
∵AP=8-t，AD=2，
∴PD=

AP2+AD2

=

t2-16t+68

．
∵CE=

3

5

t，QE=

4

5

t，
∴QH=BE=8-

3

5

t，BH=QE=

4

5

t．
∴PH=t-

4

5

t=

1

5

t．
∴PQ=

QH2+PH2

=

2 5 t2- 48 5 t+64

，DQ=10-t．
Ⅰ：DQ=DP，10-t=

t2-16t+68

，
解得t=8秒．
Ⅱ：DQ=PQ，10-t=

2 5 t2- 48 5 t+64

，
化簡(jiǎn)得：3t²-52t+180=0
解得：t=

26-2 34

3

，t=

26+2 34

3

＞8（不合題意舍去）
∴t=

26-2 34

3

第二種情況：8≤t≤10時(shí)．DP=DQ=10-t．
∴當(dāng)8≤t＜10時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．
第三種情況：10＜t≤12時(shí)．DP=DQ=t-10．
∴當(dāng)10＜t≤12時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．
綜上所述，t=

26-2 34

3

或8≤t＜10或10＜t≤12時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ成立．