Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=5，點P是邊AC上的一個動點，∠APD=∠ABC，AD∥BC，連接CD．

（1）求證AD=2AP；

（2）如圖①，若BA與CD的延長線交于點M，AP＝1，求AM的長；

（3）如圖②，若AB與DC的延長線交于點N，當△CDP與△BCN相似時，求證點P是AC的中點．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AM=；（3）點P是AC的中點.

【解析】

(1)證明△DAP∽△ACB，得，即可得解；

（2）證明△MAD∽△MBC，得，即可得解；

（3）證明△NBC∽△NAD，得，故；由△CPD∽△CBN，得，，求解即可.

（1）證明：∵AD∥BC

∴∠DAP=∠ACB

又∵∠APD=∠ABC

∴△DAP∽△ACB

∴

∴

∴AD=2AP

（2）∵AP=1，∴AD=2AP=2

∵AD∥BC

∴△MAD∽△MBC

∴

∴

∴AM=

（3）∵∠APD=∠ABC

∴∠CPD=∠CBN

又∵∠ACP＞∠N

∴當△CDP與△BCN相似時，只能是△CPD∽△CBN

設(shè)AP=x，BN=y，則AD=PD=2x，CP=10－x

∵△CPD∽△CBN，∴，∴

∵AD∥BC，∴△NBC∽△NAD，∴，∴

解出x=5，∴點P是AC的中點.