Question

如圖，已知AB是圓O的直徑，PQ是圓O的弦，PQ與AB不平行，R是PQ的中點．作PS⊥AB，QT⊥AB，垂足分別為S，T，并且∠SRT=60°，則

PQ

AB

的值等于

 

．

Answer 1

分析：連結(jié)OP，OQ，OR，由R是PQ的中點，根據(jù)垂徑定理的推論得OR⊥PQ，而OP=OQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠POR=∠QOR，易得∠PSO=∠PRO=90°，根據(jù)直角三角形外接圓的性質(zhì)得點P、S、O、R四點在以O(shè)P為直徑的圓上，再根據(jù)圓周角定理得∠PSR=∠POR，同理可得∠QTR=∠QOR，則∠PSR=∠QTR，根據(jù)等角的余角相等得∠RST=∠RTS，而∠SRT=60°，所以∠RST=60°，∠RTS=60°，則可根據(jù)圓周角定理得到∠RPO=∠RSO=60°，∠RQO=∠RTO=60°，于是可判斷△OPQ為等邊三角形，所以PQ=OP，則AB=2PQ，即可得到

PQ

AB

=

1

2

．

解答：解：連結(jié)OP，OQ，OR，如圖，
∵R是PQ的中點，
∴OR⊥PQ，
∵OP=OQ，
∴∠POR=∠QOR，
∵PS⊥AB，
∴∠PSO=∠PRO=90°，
∴點P、S、O、R四點在以O(shè)P為直徑的圓上，
∴∠PSR=∠POR，
同理可得∠QTR=∠QOR，
∴∠PSR=∠QTR，
∴∠RST=∠RTS，
而∠SRT=60°，
∴△RST為等邊三角形，
∴∠RST=60°，∠RTS=60°，
∴∠RPO=∠RSO=60°，∠RQO=∠RTO=60°，
∴△OPQ為等邊三角形，
∴PQ=OP，
∴AB=2PQ，
∴

PQ

AB

=

1

2

．
故答案為

1

2

．

點評：本題考查了垂徑定理及其推論：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條��； 推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．也考查了圓周角定理和等邊三角形的性質(zhì)．