Question

【題目】如圖（1），在△ABC中，如果正方形PQMN的邊QM在BC上，頂點(diǎn)P，N分別在AB，AC上，那么我們稱(chēng)這樣的正方形為“三角形內(nèi)接正方形”小波同學(xué)按數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中的方法進(jìn)行操作：如圖（2），任意畫(huà)△ABC，在AB上任取一點(diǎn)P′，畫(huà)正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在BC邊上，N′在△ABC內(nèi)，連結(jié)BN′并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N，畫(huà)NM⊥BC于點(diǎn)M，NP⊥NM交AB于點(diǎn)P，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，得到四邊形PQMN，小波把線(xiàn)段BN稱(chēng)為“波利亞線(xiàn)”，請(qǐng)幫助小波解決下列問(wèn)題：

（1）四邊形PQMN是否是△ABC的內(nèi)接正方形，請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（2）若△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)BC＝6，求△ABC內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)；

（3）如圖（3），若在“波利亞線(xiàn)”BN上截取NE＝NM，連結(jié)EQ，EM．當(dāng)時(shí)，猜想∠QEM的度數(shù)，并說(shuō)明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）四邊形PQMN是△ABC的內(nèi)接正方形，證明詳見(jiàn)解析；（2）12﹣18；（3）∠QEM＝90°，理由詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）首先證明四邊形PQMN是矩形，再證明MN＝PN即可；

（2）根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理列比例式可得結(jié)論；

（3）證明△BQE∽△BEM，推出∠BEQ＝∠BME，由∠BME+∠EMN＝90°，可得∠BEQ+∠NEM＝90°，即可解決問(wèn)題．

解：（1）四邊形是的內(nèi)接正方形，理由是：

如圖2中，由畫(huà)圖可知，

四邊形是矩形，，

△，

同理可得：，

，

，

四邊形是正方形，即四邊形是的內(nèi)接正方形；

（2）如圖1，過(guò)作于，交于，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，

為等邊三角形，邊長(zhǎng)，

高線(xiàn)，

四邊形是正方形，

，

，

即，解得：，

答：內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)是；

（3）如圖3中，結(jié)論：．

理由：設(shè)，，則，，，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

．