Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于C、A兩點(diǎn)。將射線AM繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到射線AN。點(diǎn)D為AM上的動點(diǎn)，點(diǎn)B為AN上的動點(diǎn)，點(diǎn)C在∠MAN的內(nèi)部。
（1）求線段AC的長；
（2）當(dāng)軸，且四邊形ABCD為梯形時，求△BCD的面積；
（3）求△BCD周長的最小值；
（4）當(dāng)△BCD的周長取得最小值，且時，△BCD的面積為_____________。（第（4）問只需填寫結(jié)論，不要求書寫過程）

Answer 1

解：（1）∵直線與x軸、y軸分別交于C、A兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2）。
∴AC＝4。
（2）如圖1，當(dāng)AD∥BC時，

可知∠DAB＝45°，∴∠ABO＝45°�！郞B＝OA＝2。



如圖2，當(dāng)AB∥DC時，可得
設(shè)射線AN交x軸于點(diǎn)E。
∵AD∥x軸，
∴四邊形AECD為平行四邊形。

綜上所述，當(dāng)AM∥x軸，且四邊形ABCD為梯形時，

（3）如圖3，作點(diǎn)C關(guān)于射線AM的對稱點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于射線AN的對稱點(diǎn)。
由軸對稱的性質(zhì)，可知
連結(jié)、，
可得

連結(jié)。
∵兩點(diǎn)之間線段最短，
∴當(dāng)B、D兩點(diǎn)與、在同一條直線上時，△BCD的周長最小，最小值為線段的長�！唷鰾CD的周長的最小值為。
（4）