Question

如圖，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=2

3

cm，
（1）判斷△ABC的形狀并證明你的結(jié)論； 
（2）求⊙O的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，利用圓周角定理可求得∠A=60°，繼而可得△ABC是等邊三角形；
（2）首先過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，連接OA，由垂徑定理，易求得OA的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答：（1）答：△ABC是等邊三角形．
證明：∵在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，
∴∠A=∠BDC=60°，
∴∠A=∠ACB，
∴AB=BC，
∴△ABC是等邊三角形；

（2）解：過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，連接OA，
∴AE=

1

2

AC=

1

2

×2

3

=

3

（cm），∠OAE=

1

2

∠BAC=30°，
∴OA=

AE

cos30°

=

3

3 2

=2（cm），
∴⊙O的周長(zhǎng)為：2π×2=4π．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理以及三角函數(shù)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．