Question

如圖，點(diǎn)A、E是⊙O上的點(diǎn)，等邊△ABC的邊BC與Rt△CDE的邊CD都在⊙O的直徑MN上，且O為BC中點(diǎn)，DE⊥CD，CE∥AB，若CD=1，則⊙O 的半徑（   ）

A.                  B.               C.              D.  4

Answer 1

C

延長(zhǎng)ED交⊙O于點(diǎn)F，連接OA，OF，由平行線的性質(zhì)可知∠ECD=60°，故在Rt△ECD中可求出EN的長(zhǎng)，再由垂徑定理可得出ED=DF，由等邊三角形的性質(zhì)可知AO⊥MN，∠OAC=30°，OA=r，可用r表示出OC的長(zhǎng)，在Rt△ODF中，利用勾股定理即可求出r的長(zhǎng)．
解：延長(zhǎng)ED交⊙O于點(diǎn)F，連接OA，OF，
∵DE⊥CD，CE∥AB，CD=1，
∴∠ECD=60°，∠CED=30°，
∴CE=2CD=2，
∴ED===，
∴DF=ED=，
∵△ABC是等邊三角形，O為BC的中點(diǎn)，
∴AO⊥MN，
∴∠OAC=30°，
設(shè)OA=r，則OC=，
在Rt△ODF中，
OF²=DF²+OD²，即r²=（）²+（+1）²，解得r=2．
故選C．
本題考查的是垂徑定理、勾股定理及等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．