Question

如圖，在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，直線y=

3

4

x+6交x軸于點A，交y軸于點B，BD平分∠AB0，點C是x軸的正半軸上一點，連接BC，且AC=AB．
（1）求直線BD的解析式；
（2）過C作CH∥y軸交直線AB于點H，點P是射線CH上的一個動點，過點P作PE⊥CH，直線PE交直線BD于E、交直線BC于F，設線段EF的長為d（d≠0），點P的縱坐標為t，求d與t之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，取線段AB的中點M，y軸上有一點N．試問：是否存在這樣的t的值，使四邊形PEMN是平行四邊形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求得A，B的坐標以及AB的長，然后點D作DG⊥AB于點G，則OD=DG，根據(jù)S_△ABD+S_△BOD=S_△AOB利用三角形的面積公式即可求得OD的長度，從而求得D的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）首先利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，CH∥y軸  點P的縱坐標為t，則E、F的縱坐標都是t，把y=t代入函數(shù)的解析式即可求得E、F的坐標；
（3）CH∥y軸，PE⊥CH，則PE∥x軸，則MN∥x軸，則N的坐標可以求得，則PE=MN，據(jù)此即可求得t的值．

解答：解：（1）當y=0時  則有

3

4

x+6=0，
解得：x=-8
∴A（-8，0），
∴AO=8
當x=0時，則有y=6
∴B（0，6），
∴OB=6，
在Rt△AOB中 OA²+OB²=AB²則有AB=10
過點D作DG⊥AB于點G 
∵BD平分∠ABO  OB⊥OA
∴OD=DG
設OD=DG=a
∵S_△ABD+S_△BOD=S_△AOB
∴

1

2

AB•DG+

1

2

OD•OB=

1

2

OA•OB
即：

1

2

×10a+

1

2

a×6=

1

2

×6×8
∴a=3
∴D（-3，0）
設直線BD的解析式為y=kx+b
將B（0，6），D（-3，0）代入得：

b=6 -3k+b=0

，
解得：

k=2 b=6

∴直線BD的解析式為y=2x+6；

（2）∵AC=AB=10，OA=8，
∴OC=10-8=2  
∴C（2，0）
設直線BC的解析式為y=mx+n
將B（0，6），C（2，0）代入y=mx+n，則

n=6 2m+n=0

，
解得：

m=-3 n=6

．
∴直線BC的解析式為y=-3x+6，
∵CH∥y軸，點P的縱坐標為t，
∴當y=t時 則有t=2x+6
∴x=

t-6

2

，t=-3x+6
∴x=

6-t

3

∴E（

t-6

2

，t）   F（

6-t

3

，t），
①當0≤t＜6時，EF=

6-t

3

-

t-6

2

∴d=5-

5

6

t
②當t＞6時，EF=

t-6

2

-

6-t

3

∴d=

5

6

t-5

（3）由點M為線段AB的中點
易求：M（-4，3）
∴MN=4
∵四邊形PEMN是平行四邊形
∴MN∥PE  MN=PE=4
由（2）得：E（

t-6

2

，t），P（2，t）
∴PE=2-

t-6

2

=4  
解得：t=2
∴存在這樣的t=2，使得四邊形PEMN是平行四邊形．

點評：本題是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積的計算以及平行四邊形的性質的綜合應用，正確求得直線BC的解析式是關鍵．