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        1. 如圖,在▱ABCD中,∠DAB=60°,點E、F分別在CD、AB的延長線上,且AE=AD,CF=CB.

          (1)求證:四邊形AFCE是平行四邊形;

          (2)若去掉已知條件的“∠DAB=60°”,上述的結(jié)論還成立嗎?若成立,請寫出證明過程;若不成立,請說明理由.

          考點:

          平行四邊形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).

          專題:

          證明題;探究型.

          分析:

          (1)由已知條件可得△AED,△CFB是正三角形,可得∠AEC=∠BFC=60°,∠EAF=∠FCE=120°,所以四邊形AFCE是平行四邊形.

          (2)上述結(jié)論還成立,可以證明△ADE≌△CBF,可得∠AEC=∠BFC,∠EAF=∠FCE,所以四邊形AFCE是平行四邊形.

          解答:

          (1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,

          ∴DC∥AB,∠DCB=∠DAB=60°.

          ∴∠ADE=∠CBF=60°.

          ∵AE=AD,CF=CB,

          ∴△AED,△CFB是正三角形.

          ∴∠AEC=∠BFC=60°,∠EAF=∠FCE=120°.

          ∴四邊形AFCE是平行四邊形.(2)解:上述結(jié)論還成立.

          證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,

          ∴DC∥AB,∠CDA=∠CBA,∠DCB=∠DAB,AD=BC,DC=AB.

          ∴∠ADE=∠CBF.

          ∵AE=AD,CF=CB,

          ∴∠AED=∠ADE,∠CFB=∠CBF.

          ∴∠AED=∠CFB.

          又∵AD=BC,

          在△ADE和△CBF中.

          ,

          ∴△ADE≌△CBF(AAS).

          ∴∠AED=∠BFC,∠EAD=∠FCB.

          又∵∠DAB=∠BCD,

          ∴∠EAF=∠FCE.

          ∴四邊形EAFC是平行四邊形.

          點評:

          本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及平行四邊形的判定.多種知識綜合運用是解題中經(jīng)常要遇到的.

           

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          (1)當點P沿A﹣D﹣A運動時,求AP的長(用含t的代數(shù)式表示).

          (2)連結(jié)AQ,在點P沿B﹣A﹣D運動過程中,當點P與點B、點A不重合時,記△APQ的面積為S.求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

          (3)過點Q作QR∥AB,交AD于點R,連結(jié)BR,如圖②.在點P沿B﹣A﹣D運動過程中,當線段PQ掃過的圖形(陰影部分)被線段BR分成面積相等的兩部分時t的值.

          (4)設(shè)點C、D關(guān)于直線PQ的對稱點分別為C′、D′,直接寫出C′D′∥BC時t的值.

           

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