Question

如圖，在▱ABCD中，∠DAB=60°，點E、F分別在CD、AB的延長線上，且AE=AD，CF=CB．

（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）若去掉已知條件的“∠DAB=60°”，上述的結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

Answer 1

考點：

平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定與性質．

專題：

證明題；探究型．

分析：

（1）由已知條件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°，所以四邊形AFCE是平行四邊形．

（2）上述結論還成立，可以證明△ADE≌△CBF，可得∠AEC=∠BFC，∠EAF=∠FCE，所以四邊形AFCE是平行四邊形．

解答：

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．

∴∠ADE=∠CBF=60°．

∵AE=AD，CF=CB，

∴△AED，△CFB是正三角形．

∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．

∴四邊形AFCE是平行四邊形．（2）解：上述結論還成立．

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．

∴∠ADE=∠CBF．

∵AE=AD，CF=CB，

∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．

∴∠AED=∠CFB．

又∵AD=BC，

在△ADE和△CBF中．

，

∴△ADE≌△CBF（AAS）．

∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．

又∵∠DAB=∠BCD，

∴∠EAF=∠FCE．

∴四邊形EAFC是平行四邊形．

點評：

本題考查了等邊三角形的性質及平行四邊形的判定．多種知識綜合運用是解題中經常要遇到的．