Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=4，BC=6，AB=3，以BC為x軸，AB為y軸，建立平面直角坐標系xoy．
（1）求過A，C，D三點的拋物線的解析式；
（2）如果一動點P由B點開始沿BC邊以1個單位長度/s的速度向點c移動，連接DP，作射線PE⊥DP，PE與直線AB交于點E，當點P移動到第t秒時，點E與點B的距離為s；
①試寫出s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
②s是否存在最大值？若存在，直接寫出這個最大值，并求出這時PE所在直線的解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）用一般式求拋物線的解析式．
（2）過D點作BC的垂線，構(gòu)建相似三角形，求BE的長，利用拋物線的頂點式求最值．

解答：解：（1）由題意可知點A，C，D的坐標分別為
（0，3），（6，0），（4，3）
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（1分）
∵拋物線經(jīng)過點A（0，3），C（6，0），D（4，3）三點
∴

c=3 36a+6b+c=0 16a+4b+c=3

（2分）
解得：

a=- 1 4 b=1 c=3

（4分）
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+x+3（5分）

（2）①作DF⊥BC，垂足為F，則BF=4，DF=3，
當t=0，s=0，
當0＜t＜4時，點P在線段BF上，如圖所示
∵PE⊥PD，
∴∠EPD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠PBE=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2=∠3，
∵DF⊥BC，
∴∠DFP=90°，∠PBE=∠DFP
∴△PBE∽△DFP

BE

PF

=

PB

DF

，即

s

4-t

=

t

3

所以s與t的函數(shù)關(guān)系式為：s=-

1

3

t²+

4

3

t （0＜t＜4）（7分）
當t=4時，DP與DF重合，PE與BP重合，
此時s=0 （8分）
當4＜t≤6時，點P在線段CF上，如圖所示
則同理可證△PBE∽△DFP
則，

BE

BP

=

PF

DF

，

s

t

=

t-4

3

則s=

1

3

t²-

4

3

t（4＜t≤6）
即當4＜t≤6時，s與t的函數(shù)關(guān)系式為：s=

1

3

t²-

4

3

t（4＜t≤6）（9分）
所以綜合上面論述可得s與t的函數(shù)關(guān)系式為s=

0(t=0) - 1 3 t2+ 4 3 t(0＜t＜4 0(t=4) 1 3 t2- 4 3 t(4＜t≤ 6)

（10分）
②由分析知s存在最大值，當t=6時，S_最大值=4 （11分）
即BE=4
此時，P，E兩點的坐標為P（6，0），E（0，-4）（12分）
設(shè)過P，E兩點的直線解析式為：y=kx+b （k≠0）
則

6k+b=0 b=-4

k= 2 3 b=-4

∴直線PE的解析式是y=

2

3

x-4 （13分）

點評：構(gòu)建相似三角形，列出相似比，是建立函數(shù)關(guān)系一個重要手段．求最值問題一般通過配成拋物線的頂點式解決．