Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，△AOM面積為2．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）在y軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）y＝﹣x+，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）．

【解析】

（1）利用反比例函數(shù)k的幾何意義即可求出反比例函數(shù)的解析式；

（2）先把解析式聯(lián)立組成方程組求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用軸對(duì)稱的性質(zhì)找到符合條件的點(diǎn)P的位置，利用一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理求出最小距離和．

（1）設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），則OM＝a，AM＝b，

∵△AOM面積為2，

∴ab＝2，

∴ab＝4，

∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，

∴k＝4，

∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；

（2）依題意可知，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為方程組的解，

解方程組得：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1），

點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（﹣2，2），連接A′B，交y軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求，此時(shí)PA+PB最小，最小值為A′B的長(zhǎng)．

由勾股定理得：A′B＝．

設(shè)直線A′B的解析式為y＝kx+b，帶入A′，B的坐標(biāo)得，

解得：，

∴，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）．