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        1. 【題目】在矩形ABCD中,邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處(如圖1).

          (1)如圖2,設(shè)折痕與邊BC交于點(diǎn)O,連接,OP、OA.已知△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊AB的長;
          (2)動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上(不與點(diǎn)P、A重合),動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上,且BN=PM,連接MN、CA,交于點(diǎn)F,過點(diǎn)M作ME⊥BP于點(diǎn)E.
          ①在圖1中畫出圖形;
          ②在△OCP與△PDA的面積比為1:4不變的情況下,試問動(dòng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)的過程中,線段EF的長度是否發(fā)生變化?請(qǐng)你說明理由.

          【答案】
          (1)

          解:如圖2,∵四邊形ABCD是矩形,

          ∴∠C=∠D=90°,

          ∴∠1+∠3=90°,

          ∵由折疊可得∠APO=∠B=90°,

          ∴∠1+∠2=90°,

          ∴∠2=∠3,

          又∵∠D=∠C,

          ∴△OCP∽△PDA,

          ∵△OCP與△PDA的面積比為1:4,

          = = = ,

          ∴CP= AD=4,

          設(shè)OP=x,則CO=8﹣x,

          在Rt△PCO中,∠C=90°,

          由勾股定理得 x2=(8﹣x)2+42,

          解得:x=5,

          ∴AB=AP=2OP=10,

          ∴邊AB的長為10;


          (2)

          解:①作圖如下:

          ②作MQ∥AN,交PB于點(diǎn)Q,如圖1.

          ∵AP=AB,MQ∥AN,

          ∴∠APB=∠ABP,∠ABP=∠MQP.

          ∴∠APB=∠MQP.

          ∴MP=MQ.

          ∵M(jìn)P=MQ,ME⊥PQ,

          ∴PE=EQ= PQ.

          ∵BN=PM,MP=MQ,

          ∴BN=QM.

          ∵M(jìn)Q∥AN,

          ∴∠QMF=∠BNF.

          在△MFQ和△NFB中,

          ,

          ∴△MFQ≌△NFB.

          ∴QF=BF.

          ∴QF= QB.

          ∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB.

          由(1)中的結(jié)論可得:

          PC=4,BC=8,∠C=90°.

          ∴PB= =4

          ∴EF= PB=2

          ∴當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中,線段EF的長度不變,長度為2


          【解析】(1)根據(jù)相似三角形△OCP∽△PDA的性質(zhì)求出PC長以及AP與OP的關(guān)系,然后在Rt△PCO中運(yùn)用勾股定理求出OP長,從而求出AB長;(2)①根據(jù)題意作出圖形;②由邊相等常常聯(lián)想到全等,但BN與PM所在的三角形并不全等,且這兩條線段的位置很不協(xié)調(diào),可通過作平行線構(gòu)造全等,然后運(yùn)用三角形全等及等腰三角形的性質(zhì)即可推出EF是PB的一半,只需求出PB長就可以求出EF長.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (1)試求出該商店日銷售利潤w(元)與銷售時(shí)間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系式;
          (2)在這30天的試銷售中,哪一天的日銷售利潤最大,哪一天的日銷售利潤最。坎⒎謩e求出這個(gè)最大利潤和最小利潤.

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          (1)若PF=PB,求證:PB是⊙O的切線;
          (2)如果AB=10,BC=6,求CE的長度.

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          (1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)DBC的什么位置時(shí),DE=DF?并證明;

          (2)在滿足第一問的條件下,連接AD,此時(shí)圖中共有幾對(duì)全等三角形?請(qǐng)寫出所有的全等三角形(不必證明);

          (3)如圖②,過點(diǎn)CAB邊上的高CG,請(qǐng)問DE、DF、CG的長之間存在怎樣的等量關(guān)系?并加以證明.

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          A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

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          (1)求證:AC∥DE;
          (2)若BF=13,EC=5,求BC的長.

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          (一)嘗試探究
          如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠ABC=∠ADC=90°,點(diǎn)E、F分別在線段BC、CD上,∠EAF=30°,連接EF.
          (1)如圖2,將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到△A′B′E′(A′B′與AD重合),請(qǐng)直接寫出∠E′AF=度,線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為
          (2)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段BC、CD的延長線上時(shí),其他條件不變,請(qǐng)?zhí)骄烤段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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