Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別向AB、AC引垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)E、F.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在BC的什么位置時(shí)，DE＝DF？并證明；

(2)在滿(mǎn)足第一問(wèn)的條件下，連接AD，此時(shí)圖中共有幾對(duì)全等三角形？請(qǐng)寫(xiě)出所有的全等三角形(不必證明)；

(3)如圖②，過(guò)點(diǎn)C作AB邊上的高CG，請(qǐng)問(wèn)DE、DF、CG的長(zhǎng)之間存在怎樣的等量關(guān)系？并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)上時(shí)，DE=DF，證明見(jiàn)解析；（2）有3對(duì)全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD；（3）CG=DE+DF，證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析:(1)因?yàn)楫?dāng)△BED和△CFD時(shí),DE=DF,所以當(dāng)點(diǎn)D在BC中點(diǎn)時(shí),可利用AAS判定△BED和△CFD全等,利用全等三角形的性質(zhì)可得DE=DF,

(2)在(1)的結(jié)論下:DE=DF,BD=CD, 利用SSS可判定△ADB≌△ADC,

利用HL可判定△AED≌△AFD,利用AAS可判定△BED≌△CFD,所以有3對(duì)全等三角形.

(3)連接AD,根據(jù)三角形的面積公式即可求證.

（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)上時(shí),DE=DF,

證明:∵D為BC中點(diǎn),

∴BD=CD,

∵AB=AC,

∴∠B=∠C,

∵DE⊥AB,DF⊥AC,

∴∠DEB=∠DFC=90°,

∵在△BED和CFD中,

∴△BED≌△CFD（AAS）,

∴DE=DF．

（2）

有3對(duì)全等三角形,有△BED≌△CFD,△ADB≌△ADC,△AED≌△AFD,

（3）CG=DE+DF,

證明:連接AD,

因?yàn)?/span>,

所以,

因?yàn)?/span>AB=AC,

所以.