Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O交x軸于A、B兩點(diǎn)，直線FA⊥x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)D在FA上，且DO平行于⊙O的弦MB，連DM并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)C．
（1）判斷直線DC與⊙O的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，4），①求MC的長(zhǎng)；②若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)；其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)即結(jié)束．連接PQ交OD于點(diǎn)H，當(dāng)△PDH為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）連OM，根據(jù)全等三角形的判定方法得到△DAO≌△DMO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到OM⊥DC，根據(jù)切線的判定定理就可以判定DC切⊙O于M；
（2）①根據(jù)已知條件容易證明△OMC∽△DAC，根據(jù)相似比即可求得MC的長(zhǎng)；
②分兩種情況：當(dāng)∠PHD=90°時(shí)；當(dāng)∠DPH=90°時(shí)；

解答：證明：（1）如圖，連OM．
∵DO∥MB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠4．
在△DAO與△DMO中，

AO=OM ∠2=∠4 DO=DO

，
∴△DAO≌△DMO．
∴∠OMD=∠OAD．
∵FA⊥x軸于點(diǎn)A，
∴∠OAD=90°．
∴∠OMD=90°．
即OM⊥DC．
∴DC切⊙O于M．（4分）

解：（2）
①∵D（-2，4），
∴OA=2（即⊙O的半徑），AD=4．
由（1）知DM=AD=4，
∵△OMC∽△DAC，
∴

MC

AC

=

OM

AD

=

2

4

=

1

2

．
∴AC=2MC．
在Rt△ACD中，CD=MC+4，
∵（2MC）²+4²=（MC+4）²
∴MC=

8

3

或MC=0（不合，舍去），
∴MC的長(zhǎng)為

8

3

．（8分）

②由①知CD=

20

3

．
當(dāng)∠PHD=90°時(shí)，由切線長(zhǎng)性質(zhì)定理知DO平分∠PDQ，
∴PD=QD．
∴4-t=2t，t=

4

3

（符合題意）．
∴P（-2，

4

3

）．（10分）
當(dāng)∠DPH=90°時(shí)，PQ∥AC，
∴△DPQ∽△DAC．
∴

DP

DA

=

DQ

DC

．
即

4-t

4

=

2t

20 3

，t=

20

11

（符合題意）．
∴P（-2，

20

11

）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題把全等三角形，相似三角形，平行線等知識(shí)和圓結(jié)合起來(lái)，綜合性比較強(qiáng)，要求學(xué)生有較高的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．