Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C（0，

3

）在y軸的正半軸上，A、B是x軸上是兩點(diǎn)，且OA：OB=3：1，以O(shè)A、OB為直徑的圓分別交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．直線EF交OC于點(diǎn)Q．
（1）求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）請(qǐng)猜想：直線EF與兩圓有怎樣的位置關(guān)系并證明你的猜想；
（3）在△AOC中，設(shè)點(diǎn)M是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作MN∥AB交OC于點(diǎn)N．試問：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PMN是一個(gè)以MN為一直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了C點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出OC的值，題中告訴了OA，OB的比例關(guān)系，因此可用射影定理求出OA，OB的長(zhǎng)，即可得出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式；
（2）證EF與圓的關(guān)系，可連接O₁E，O₂F證是否與EF垂直即可．連接OE，OF，那么四邊形EOFC是個(gè)矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等且互相平分的特點(diǎn)，可得出QO=QE，那么∠1=∠2，而∠3=∠4，因此可得出∠1+∠3=90°，即可證得，O₁E⊥EF，因此EF是圓O₁的切線，同理可證得EF也是圓O₂的切線，因此EF是兩圓的公切線；
（3）①先求PM=MN時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)，此時(shí)四邊形PMNO是個(gè)正方形，可根據(jù)相似三角形CMN和CAO來(lái)求出MN的長(zhǎng)，即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
②在①中已經(jīng)得出四邊形MPON是正方形，因此P在O點(diǎn)時(shí)，也符合題中的條件，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)即為原點(diǎn)坐標(biāo)．
綜上所述即可求出符合條件的P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，OC⊥AB，
∴△AOC∽△COB．
∴OC²=OA•OB．
∵OA：OB=3：1，C（0，

3

），
∴（

3

）²=3OB•OB．
∴OB=1．
∴OA=3．
∴A（-3，0），B（1，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
則

9a-3b+c=0 a+b+c=0 c= 3

．
解之，得

a=- 3 3 b=- 2 3 3 c= 3

∴經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

；

（2）EF與⊙O₁、⊙O₂都相切．
證明：連接O₁E、OE、OF．
∵∠ECF=∠AEO=∠BFO=90°，
∴四邊形EOFC為矩形．
∴QE=QO，
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠4，∠2+∠4=90°，
∴EF與⊙O₁相切．
同理：EF與⊙O₂相切；

（3）作MP⊥OA于P，設(shè)MN=a，由題意可得MP=MN=a．
∵M(jìn)N∥OA，
∴△CMN∽△CAO．
∴

MN

AO

=

CN

CO

．
∴

a

3

=

3 -a

3

．
解之，得a=

3 3 -3

2

．
此時(shí)，四邊形OPMN是正方形．
∴MN=OP=

3 3 -3

2

．
∴P（-

3 3 -3

2

，0）．
考慮到四邊形PMNO此時(shí)為正方形，
∴點(diǎn)P在原點(diǎn)時(shí)仍可滿足△PMN是以MN為一直角邊的等腰直角三角形．
故x軸上存在點(diǎn)P使得△PMN是一個(gè)以MN為一直角邊的等腰直角三角形且P（-

3 3 -3

2

，0）或P（0，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形相似、直線與圓的位置關(guān)系、等腰直角三角形的判定等知點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．