Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，連接BC．

（1）求該拋物線的解析式，并寫出它的對稱軸；

（2）點D為拋物線對稱軸上一點，連接CD、BD，若∠DCB=∠CBD，求點D的坐標(biāo)；

（3）已知F（1，1），若E（x，y）是拋物線上一個動點（其中1＜x＜2），連接CE、CF、EF，求△CEF面積的最大值及此時點E的坐標(biāo)．

（4）若點N為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點M，使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x+2；∴對稱軸x=1；（2）D（1，）；（3）最大值是，此時E（，）；（4）M（2，2）或M（4，-）或M（-2，-）.

【解析】

（1）將點A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+2即可；

（2）過點D作DG⊥y軸于G，作DH⊥x軸于H，設(shè)點D（1，y），在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=（2-y）2+1，在Rt△BHD中，BD2=BH2+HD2=4+y2，可以證明CD=BD，即可求y的值；

（3）過點E作EQ⊥y軸于點Q，過點F作直線FR⊥y軸于R，過點E作FP⊥FR于P，證明四邊形QRPE是矩形，根據(jù)S△CEF=S矩形QRPE-S△CRF-S△EFP，代入邊即可；

（4）根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)可以得到存在點M使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，點M（2，2）或M（4，-）或M（-2，-）.

（1）將點A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+2，

可得a=-，b=，

∴y=-x2+x+2；

∴對稱軸x=1；

（2）如圖，過點D作DG⊥y軸于G，作DH⊥x軸于H，

設(shè)點D（1，y），

∵C（0，2），B（3，0），

∴在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=（2-y）2+1，

∴在Rt△BHD中，BD2=BH2+HD2=4+y2，

在△BCD中，∵∠DCB=∠CBD，

∴CD=BD，

∴CD2=BD2，

∴（2-y）2+1=4+y2，

∴y=，

∴D（1，）；

（3）如圖，過點E作EQ⊥y軸于點Q，過點F作直線FR⊥y軸于R，過點E作FP⊥FR于P，

∴∠EQR=∠QRP=∠RPE=90°，

∴四邊形QRPE是矩形，

∵S△CEF=S矩形QRPE-S△CRF-S△EFP-S△CQE

∵E（x，y），C（0，2），F（1，1），

∴S△CEF=EQQR-×EQQC-CRRF-FPEP，

∴S△CEF=x（y-1）-x（y-2）-×1×1-（x-1）（y-1），

∵y=-x2+x+2，

∴S△CEF=-x2+x，

∴當(dāng)x=時，面積有最大值是，

此時E（，）；

（4）存在點M使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，

設(shè)N（1，n），M（x，y），

①四邊形CMNB是平行四邊形時，

，

∴x=-2，

∴M（-2，-）；

②四邊形CNBM時平行四邊形時，

，

∴x=2，

∴M（2，2）；

③四邊形CNNB時平行四邊形時，

，

∴x=4，

∴M（4，-）；

綜上所述：M（2，2）或M（4，-）或M（-2，-）.